Esquema FTCS

Na análise numérica, o método FTCS(Forward-Time Central-Space) que em português significa progressivo no tempo centrado no espaço, é um método das diferenças finitas usado para resolver numericamente a equação do calor e equações parabólicas em derivadas parciais similares. É um método de primeira ordem no tempo, explícito no tempo e é condicionalmente estável.

O método

No método FTCS, aproximamos a derivada parcial de primeira ordem no tempo $u_{t}$ por uma diferença finita progressiva e a derivada parcial de segunda ordem no espaço $u_{xx}$, por uma diferença finita centrada:

$u_{t}={\frac {\partial u}{\partial t}}(x_{i},t_{n})\approx {\frac {u(x_{i},t_{n}+\Delta t)-u(x_{i},t_{n})}{\Delta t}}={\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}},$

$u_{xx}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}(x_{i},t_{n})\approx {\frac {u(x_{i}-\Delta x,t_{n})-2u(x_{i},t_{n})+u(x_{i}+\Delta x,t_{n})}{\Delta x^{2}}}={\frac {u_{i-1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i+1}^{n}}{\Delta x^{2}}},$

podemos então substituir as derivadas de u na equação do calor:

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

obtendo assim o método FTCS:

${\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=\alpha {\frac {u_{i-1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i+1}^{n}}{\Delta x^{2}}}$

ou

$u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+\alpha {\frac {\Delta t}{\Delta x^{2}}}(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}),$

ou ainda:

$u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+r(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}),$

para i e n finitos, onde r é dado por $r=\alpha {\frac {\Delta t}{\Delta x^{2}}}.$

Estabilidade

O método FTCS, para equações unidimensionais, é estável se e somente se a seguinte condição for satisfeita:

$r={\frac {\alpha \Delta t}{\Delta x^{2}}}\leq {\frac {1}{2}}.$

Consequentemente, ao usarmos o esquema FTCS, nao podemos escolher $\Delta x$ e $\Delta t$ independentemente. Pior que isso: como a priori precisamos escolher $\Delta x$ relativamente pequeno para obter uma boa aproximacão, segue que $\Delta t$ será muito pequeno. Precisaremos percorrer muitos passos temporais (muitas iterações do método) para calcular a solução aproximada em qualquer instante de tempo finito.