Estabilidade assimptótica

Na teoria dos sistemas dinâmicos, a estabilidade de um sistema é a capacidade que um sistema possui de esquecer o seu passado conforme o tempo tende a infinito. Mais precisamente, um sistema dinâmico é dito assimptoticamente estável se tende ao seu(s) ponto(s) de equilíbrio(s) quando submetido à ingresso constante. No caso dos sistemas lineares isto significa que o movimento livre do sistema tende para zero com o passar do tempo. Quando um sistema atinge o ponto de equilibrio se diz entrou em regime estacionário.

Sistemas linearesEditar

O movimento de um sistema linear invariante no tempo descrito pela quaterna (A,B,C,D) é dado pela fórmula de Lagrange:

 

onde:

x(t) é o movimento do sistema

  é o movimento livre do sistema
  é o movimento forçado do sistema
  para sistemas a tempo continuo e   para sistemas a tempo discreto e se chama matriz de transição
  é a função de ingresso do sistema definida do intervalo [0,t)
  é 1 operador linear aplicado à função de ingresso

Um sistema linear é dito assimptoticamente estável quando:

 

Ou seja o movimento livre do sistema tende a zero quando o tempo tende a infinito para toda condição inicial x(0). Isso só é possível se a matriz de transição tender a zero para o tempo tendente a infinito.

Estabilidade segundo LyapunovEditar

Considere um sistema do tipo   ou  , isto é um sistema não-linear ou linear com ingresso nulo. Seja   um ponto de equilibrio e   uma sua vizinhança. Um ponto de equilíbrio   é local e assimptoticamente estável se:

 

onde   é uma vizinhança pequena quanto se queira de   . Nos sistemas lineares, se existe um ponto de equilíbrio ou é único ou existe um infinidade não enumerável destes. As vizinhanças de tais equilíbrios podem ser todo o espaço  . Assim sendo, a definição de estabilidade segundo Lyapunov para sistemas lineares coincide com a definição anterior. Isso implica que em sistemas lineares o comportamento global do sistema pode ser estudado a partir do comportamento local, algo que muitas vezes não é possível em sistemas não-lineares devido à presença de um conjunto enumerável de equilíbrios.

Ver tambémEditar

BibliografiaEditar

  • S. Rinaldi e C. Piccardi. I sistemi lineari: teoria, modelli, applicazioni. CittàStudi Edizioni, 1998. ISBN 8825172176
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