Exponencial de Doléans-Dade

Em cálculo estocástico, a exponencial de Doléans–Dade, exponencial de Doléans ou exponencial estocástica de um semimartingale $X$ é definida como a solução da equação diferencial estocástica $dY_{t}=Y_{t}dX_{t}$ com condição inicial $Y_{0}=1$. O conceito recebe este nome em homenagem à matemática franco-americana Catherine Doléans–Dade. É às vezes denotada como $\varepsilon (x)$.

Definição

No caso em que $X$ é diferenciável, então, $Y$ é dado pela equação diferencial $dY/dt=YdX/dt$, para a qual a solução é $Y=\exp(X-X_{0})$. Alternativamente, se $X_{t}=\sigma B_{t}+\mu t$ para um movimento browniano $B$, então, a exponencial de Doléans–Dade é um movimento browniano geométrico. Para qualquer semimartingale contínuo $X$, aplicando o lema de Itō com $f(Y)=\log(Y)$, tem-se que:

${\begin{aligned}d\log(Y)&={\frac {1}{Y}}dY-{\frac {1}{2Y^{2}}}d[Y]\\&=dX-{\frac {1}{2}}d[X].\end{aligned}}$

A exponenciação dá a solução:

$Y_{t}=\exp(X_{t}-X_{0}-{\frac {1}{2}}[X]_{t}),t\geq 0.$

Isto difere do que pode ser esperado por comparação com o caso em que $X$ é diferenciável devido à existência do termo de variação quadrática $[X]$ na solução.

A exponencial de Doléans–Dade é útil no caso em que $X$ é um martingale local. Então, $\varepsilon (x)$ também será um martingale local, enquanto a exponencial normal $\exp(x)$ não é. Isto é usado no teorema de Girsanov. Os critérios para que um martingale local contínuo $X$ garanta que sua exponencial estocástica $\varepsilon (x)$ seja de fato um martingale são dados pelas condições de Kazamaki, Novikov e Beneš.

É possível aplicar o lema de Itō para semimartingales não contínuos de forma semelhante para mostrar que a exponencial de Doléans–Dade de qualquer semimartingale $X$ é:

$Y_{t}=\exp {\Bigl (}X_{t}-X_{0}-{\frac {1}{2}}[X]_{t}{\Bigr )}\prod _{s\leq t}(1+\Delta X_{s})\exp {\Bigl (}-\Delta X_{s}+{\frac {1}{2}}\Delta X_{s}^{2}{\Bigr )},t\geq 0,$

em que o produto se estende sobre os (muitos) saltos (contáveis) de $X$ até o tempo $t$.