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Transformada rápida de Fourier

(Redirecionado de FFT)

IntroduçãoEditar

A Transformada rápida de Fourier (em inglês fast Fourier transform, ou FFT) é um algoritmo eficiente para se calcular a Transformada discreta de Fourier (DFT) e a sua inversa. A análise de Fourier converte um sinal do seu domínio original para uma representação no domínio da frequência e vice-versa. Uma Transformada rápida de Fourier calcula rapidamente essas transformações fatorizando a matriz da Transformada discreta de Fourier em um produto de fatores esparsos (principalmente zero)[1]. Como resultado, ele consegue reduzir a complexidade de calcular a Transformada discreta de Fourier de O(n2), ou seja na ordem de n elevado ao quadrado, que surge se alguém simplesmente aplica a definição de Transformada discreta de Fourier, a O( n log n), onde n é o tamanho dos dados.

As Transformadas rápidas de Fourier são de grande importância em uma vasta gama de aplicações, de Processamento digital de sinais para a resolução de equações diferenciais parciais a algoritmos para multiplicação de grandes inteiros. Transformadas rápidas de Fourier são amplamente utilizadas para aplicações diversas em engenharia, ciência e matemática. As idéias básicas foram popularizadas em 1965, mas alguns algoritmos foram obtidos em 1805.[2] Em 1994, Gilbert Strang descreveu a Transformada rápida de Fourier como "O algoritmo numérico mais importante da nossa vida."[3][4] e foi incluída no Top 10 Algorithms of 20th Century pela revista IEEE [5]Computing in Science & Engineering.

HistóriaEditar

O desenvolvimento de algoritmos rápidos para Transformada discreta de Fourier pode ser rastreado até o trabalho não publicado de Gauss em 1805, quando ele precisou interpolar a órbita dos asteróides Pallas e Juno de observações de amostras[6].[7] Seu método foi muito semelhante ao publicado em 1965 por James William Cooley e John Wilder Tukey, que são geralmente creditados pela invenção do moderno algoritmo de Transformada rápida de Fourier genérico. Enquanto o trabalho de Gauss antecedeu os resultados de Fourier em 1822, ele não analisou o tempo de computação e, eventualmente, usou outros métodos para atingir seu objetivo.

Entre 1805 e 1965, algumas versões da Transformada rápida de Fourier foram publicadas por outros autores. Frank Yates, em 1932, publicou sua versão chamada algoritmo de interação, que forneceu uma computação eficiente das transformadas de Hadamard e Walsh[8]. O algoritmo de Yates ainda é usado no campo do projeto estatístico e análise de experimentos. Em 1942, G. C. Danielson e Cornelius Lanczos publicaram sua versão para computar a Transformada discreta de Fourier para cristalografia de raios X, um campo onde o cálculo das transformadas de Fourier apresentava um formidável obstáculo[9].[10] Embora muitos métodos no passado tenham se concentrado em reduzir o fator constante para computação de O(n2) aproveitando as "simetrias", Danielson e Lanczos perceberam que use a "periodicidade" e aplique um "truque de duplicação" para obter o tempo de execução O( n log n).[11]

James Cooley e John Tukey publicaram uma versão mais geral da Transformada rápida de Fourier em 1965 que é aplicável quando N é composto e não necessariamente uma potência de 2[12]. Tukey teve a idéia durante uma reunião do Comitê Consultivo Científico do presidente Kennedy, onde um tópico de discussão envolveu a detecção de testes nucleares pela União Soviética, através da instalação de sensores para cercar o país de fora. Para analisar a saída desses sensores, seria necessário um algoritmo de transformação rápida de Fourier. Em discussão com Tukey, Richard Garwin reconheceu a aplicabilidade geral do algoritmo não apenas a problemas de segurança nacional, mas também a uma ampla gama de problemas, incluindo um de interesse imediato para ele, determinando as periodicidades das orientações de spin em um cristal 3-D. de hélio-3.[13] Garwin deu a idéia de Tukey para Cooley (ambos trabalharam nos laboratórios Watson da IBM) para implementação[14]. Cooley e Tukey publicaram o artigo em um período relativamente curto de seis meses. [15]Como Tukey não trabalhava na IBM, a patenteabilidade da ideia foi posta em dúvida e o algoritmo entrou no domínio público, o que, através da revolução da computação na próxima década, fez da FFT um dos algoritmos indispensáveis ​​no processamento digital de sinais.

Visão GeralEditar

A Transformada discreta de Fourier é obtida pela decomposição de uma seqüência de valores em componentes de diferentes frequências.[16] Esta operação é útil em muitos campos, entretanto calculá-la diretamente da definição é freqüentemente lenta demais para ser prática. Uma Transformada rápida de Fourier é uma maneira de calcular o mesmo resultado mais rapidamente: calcular a Transformada discreta de Fourier de n pontos da maneira ingênua, usando a definição, leva operações aritméticas de O (n2), enquanto uma Transformada rápida de Fourier pode computar a mesma Transformada discreta de Fourier em apenas O (n log n) operações. A diferença de velocidade pode ser enorme, especialmente para conjuntos de dados longos em que N pode estar na casa dos milhares ou milhões. Na prática, o tempo de computação pode ser reduzido em várias ordens de magnitude em tais casos, e a melhoria é aproximadamente proporcional a N/log N. Essa grande melhoria tornou o cálculo da Transformada discreta de Fourier prático; As Transformadas rápidas de Fourier são de grande importância para uma ampla variedade de aplicações, desde processamento digital de sinais e resolução de equações diferenciais parciais até algoritmos para rápida multiplicação de inteiros grandes.

AlgoritmoEditar

O algoritmo baseia-se no chamado método de dobramentos sucessivos, onde podemos expressar a transformada de Fourier como sendo

 

onde

 .

Assumimos que   onde   é um inteiro positivo.


Portanto,   pode ser escrito como   onde   é um inteiro positivo.


Logo, a transformada de Fourier escrita inicialmente, pode ser reescrita como

 

A soma escrita acima pode ser separada em duas, da seguinte maneira

 

Considerando que  , nomeamos a primeira soma por

  para valores de  , e

E a segunda soma por

  para valores de  

Podemos reescrever a transformada de Fourier como sendo

 


Uma vez que   e  .

A recombinação da equação   com a última nos fornece


 


A observação dessas equações nos fornece suas propriedades. Dentre elas vemos:

  • Uma transformada de   pontos pode ser computada pela divisão da expressão original em duas partes.

AplicaçõesEditar

A importância da FFT deriva do fato de que, no processamento de sinais e no processamento de imagens, o trabalho no domínio da freqüência é igualmente viável computacionalmente como o trabalho no domínio temporal ou espacial. Algumas das aplicações importantes da FFT incluem[17][18]:

  • Multiplicação rápida de números inteiros e polinomiais
  • Multiplicação eficiente de vetores matriciais para Toeplitz, circulantes e outras matrizes estruturadas
  • Algoritmos de filtragem
  • Algoritmos rápidos para transformações discretas de cosseno ou seno (por exemplo, Fast DCT usado para codificação JPEG, MP3 / MPEG)
  • Aproximação rápida de Chebyshev
  • Transformada Hartley discreta rápida
  • Resolvendo Equações Diferenciais
  • Computação de distribuições isotópicas.[19]

Veja tambémEditar

Algoritmos relacionados a FFT:

Implementações FFT:

  • ALGLIB – C++ and C# library with real/complex FFT implementation.
  • FFTW "Fastest Fourier Transform in the West" – C library for the discrete Fourier transform (DFT) in one or more dimensions.
  • FFTS – The Fastest Fourier Transform in the South.
  • FFTPACK – another Fortran FFT library (public domain)
  • Math Kernel Library

ReferênciasEditar

  1. Van Loan, Charles (1992-01). Computational Frameworks for the Fast Fourier Transform. [S.l.]: Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 9780898712858  Verifique data em: |data= (ajuda)
  2. Heideman, Michael T.; Johnson, Don H.; Burrus, C. Sidney (1985). «Gauss and the history of the fast Fourier transform». Archive for History of Exact Sciences. 34 (3): 265–277. ISSN 0003-9519. doi:10.1007/bf00348431 
  3. D., Kent, Raymond (2002). The acoustic analysis of speech 2nd ed. Australia: Singular/Thomson Learning. ISBN 0769301126. OCLC 48024997 
  4. Strang, Gilbert (1984-04). «Duality in the Classroom». The American Mathematical Monthly. 91 (4). 250 páginas. ISSN 0002-9890. doi:10.2307/2322961  Verifique data em: |data= (ajuda)
  5. «Institute of Electrical and Electronics Engineers». Wikipedia (em inglês). 12 de julho de 2018 
  6. Heideman, Michael T.; Johnson, Don H.; Burrus, C. Sidney (1985). «Gauss and the history of the fast Fourier transform». Archive for History of Exact Sciences. 34 (3): 265–277. ISSN 0003-9519. doi:10.1007/bf00348431 
  7. Gauss, Carl Friedrich (1877). «Auszug aus dreijährigen täglichen Beobachtungen der magnetischen Declination zu Göttingen». Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg: 556–568. ISBN 9783642493201 
  8. Heideman, Michael T.; Johnson, Don H.; Burrus, C. Sidney (1985). «Gauss and the history of the fast Fourier transform». Archive for History of Exact Sciences. 34 (3): 265–277. ISSN 0003-9519. doi:10.1007/bf00348431 
  9. Michaelson, S.; Lanczos, Cornelius (1960-02). «Applied Analysis». The Mathematical Gazette. 44 (347). 75 páginas. ISSN 0025-5572. doi:10.2307/3608551  Verifique data em: |data= (ajuda)
  10. Danielson, G.C.; Lanczos, C. (1942-04). «Some improvements in practical Fourier analysis and their application to x-ray scattering from liquids». Journal of the Franklin Institute. 233 (4): 365–380. ISSN 0016-0032. doi:10.1016/s0016-0032(42)90767-1  Verifique data em: |data= (ajuda)
  11. Cooley, J.; Lewis, P.; Welch, P. (1967-06). «Historical notes on the fast Fourier transform». IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics. 15 (2): 76–79. ISSN 0018-9278. doi:10.1109/tau.1967.1161903  Verifique data em: |data= (ajuda)
  12. Cooley, James W.; Tukey, John W. (1965-04). «An Algorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier Series». Mathematics of Computation. 19 (90). 297 páginas. ISSN 0025-5718. doi:10.2307/2003354  Verifique data em: |data= (ajuda)
  13. Cooley, James W. (1987-01). «The re-discovery of the fast Fourier transform algorithm». Mikrochimica Acta. 93 (1-6): 33–45. ISSN 0026-3672. doi:10.1007/bf01201681  Verifique data em: |data= (ajuda)
  14. Cooley, J.; Garwin, R.; Rader, C.; Bogert, B.; Stockham, T. (1969-06). «The 1968 Arden house workshop on fast Fourier transform processing». IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics. 17 (2): 66–76. ISSN 0018-9278. doi:10.1109/tau.1969.1162047  Verifique data em: |data= (ajuda)
  15. Rockmore, D.N. (2000). «The FFT: an algorithm the whole family can use». Computing in Science & Engineering. 2 (1): 60–64. ISSN 1521-9615. doi:10.1109/5992.814659 
  16. Heideman, M.; Johnson, D.; Burrus, C. (1984-10). «Gauss and the history of the fast fourier transform». IEEE ASSP Magazine (em inglês). 1 (4): 14–21. ISSN 0740-7467. doi:10.1109/massp.1984.1162257  Verifique data em: |data= (ajuda)
  17. 1950-, Chu, Eleanor Chin-hwa, (2000). Inside the FFT black box : serial and parallel fast Fourier transform algorithms. Boca Raton, Fla.: CRC Press. ISBN 0849302706. OCLC 51949140 
  18. Rockmore, D.N. (2000). «The FFT: an algorithm the whole family can use». Computing in Science & Engineering. 2 (1): 60–64. ISSN 1521-9615. doi:10.1109/5992.814659 
  19. 1950-, Chu, Eleanor Chin-hwa, (2000). Inside the FFT black box : serial and parallel fast Fourier transform algorithms. Boca Raton, Fla.: CRC Press. ISBN 0849302706. OCLC 51949140 

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Ligações externasEditar