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FIGURAS DE CHLADNI

COMO A SERRAGEM SE ACUMULA EM CADA PLACA?

Este eperimento foi inventado há cerca de 200 anos por Ernst Florens Friedrich Chladni, um fisico alemão, para visualizar os diferented 'modos de vibração' das placas metálicas. O arco do violino provoca a vibração da placa e a areia se deposita sobre os pontos que permanecem parados (pontos nodais) formando belos desenhos: as figuras de Chladni.

Um modelo matemático descrevendo este fenômeno era desconhecido na época em que Chladni criou o experimento. Napoleão Bonapart, que se interessava por ciências, ofereceu um prêmio para quem desenvolvesse uma teoria matemática satisfatória sobre as vibraçães de uma placa. O prêmio coube a Sophie Germain, que modelou o problema com uma equação diferencial parcial de ordem 4 em 1815. Posteriorment, em 1850, G. R. Kirchhoff deu um tratamento mais acurado às condições de contorno do problema.

Para destacar o encanto provocado por esse fenômeno, bastaria citar Mary Désirée Waller, que publicou 31 artigos sobre o assunto! Mas muitos físicos famosos se interessaram por esse problema de vibrações: Savart, Strenhlke, Faraday, Koenig, Debye, Young, Flugge, Wood, Andrade entre outros.

O CASO MAIS SIMPLES DA CORDA VIBRANTE

A corda vibrante, que vemos nos instrumentos de corda como violão, guitarra, piano e harpa, é uma versão mais simples do fenômeno que ocorre aqui. Quando tocamos uma corda, ela vibra combinando diferented modos de vibraçõ.

A maneira como esses modos são combinados é que dá o timbre sonoro, que nos faz distinguir o som de um instrumento. E o timbre pode ser alterado bastando tocar a corda de maneiras diferentes: por exemplo, o som da corda de violão é mais "metálico" quando a tocamos perto do traste.

A nota produzida por uma corda vibrante é a frequência de seu modo fundamental. Os outros modos de vibraçõ, chamados de harmônicos, vibram em outras frequéncias, em geral mais altas. Cada modo de vibraçõ tem seus pontos nodais, onde a corda fica parada.

VIBRAÇÕES DE MEMBRANAS

Quando uma membrana vibra, ela o faz segundo uma combinaçõ de modos de vibração. Em geral, o que vemos é explicado pelo modo predominante, ou 'modo fundamental'.

Para entender isso, temos que admitir primeiro que o movimento pode ser descrito por uma função que diz a altura da placa em cada um de seus pontos e em cada instante de tempo. Se 'h' denotar essa altura, escreve-se h(x,y,t) para indicar a dependéncia espacial e temporal dessa altura.

Nos modelos de membrana elástica, regidos pela famosa equação da onda (a mesma que serve para explicar os fenômenos eletromagnéticos), cada modo de vibração é dado por uma função que é o produto de duas funções: uma apenas espacial, independente do tempo, e outra temporal, independente do espaço. Em linguagem matemática, escreve-se h(x,y,t) = p(x,y)q(t) Nesses modelos, a função temporal q(t) é uma oscilação senoidal, por exmplo q(t) = sen(${\displaystyle \omega }$t), em que ${\displaystyle \omega }$ é frequência de vibração do modo fundamental.

Note que em todos os pontos onde a função espacial p(x,y) se anula a função h tambén se anula, em qualquer instant t (pois zero multiplicado pro qualquercoisa é sempre zero!). Isto significa que os pontos em que p(x,y) se anula são estáticos. Esses pontos, em geral, formam um trançado de linhas, que são chamadas de linhas nodais. A serragem se acumula exatamente nessas linhas modais!

Placa com bordo fixo vibrando Quem são m e n? Suponha que a placa esteja delimitada por [0,pi]x[0,pi], e a amplitude em cada ponto seja proporcional a sen(nx) sen(my).

Automated English translation:

CHLADNI FIGURES

How does sawdust accumulate on each plate?

This experiment was invented about 200 years ago by Ernst Florens Friedrich Chladni, a German physicist, to visualize the different 'vibration modes' of metal plates. The violin's bow causes the plate to vibrate and the sand settles on the points that remain still (nodal points) forming beautiful designs: Chladni's figures.

A mathematical model describing this phenomenon was unknown at the time Chladni created the experiment. Napoleon Bonapart, who was interested in science, offered a prize to anyone who developed a satisfactory mathematical theory about the vibrations of a plate. The prize went to Sophie Germain, who modeled the problem with a partial differential equation of order 4 in 1815. Later, in 1850, G. R. Kirchhoff gave a more accurate treatment of the boundary conditions of the problem.

To highlight the charm caused by this phenomenon, it would be enough to cite Mary Désirée Waller, who published 31 articles on the subject! But many famous physicists have been interested in this vibration problem: Savart, Strenhlke, Faraday, Koenig, Debye, Young, Flugge, Wood, Andrade and others.

THE SIMPLEST CASE OF THE VIBRANT ROPE

The 'vibrant string' we see on stringed instruments like guitar, guitar, piano and harp is a simpler version of the phenomenon that occurs here. When we play a string, it vibrates by combining different modes of vibration.

The way these modes are combined is that it gives the 'sonorous timbre', which makes us distinguish the sound of an instrument. And the tone can be changed simply by playing the string in different ways: for example, the sound of the guitar string is more "metallic" when you play it near the fret.

The note produced by a vibrating string is the frequency of its fundamental mode. The other vibration modes, called 'harmonics', vibrate at other, often higher, frequencies. Each vibration mode has its 'nodal points', where the string stands still.

MEMBRANE VIBRATIONS

When a membrane vibrates, it does so according to a combination of 'vibration modes'. In general, what we see is explained by the predominant mode, or 'fundamental mode'.

To understand this, we must first admit that motion can be described by a function that tells the height of the plate at each of its points and at each instant of time. If 'h' denotes this height, write 'h (x, y, t)' to indicate the spatial and temporal dependence of this height.

In elastic membrane models, governed by the famous 'wave equation' (which serves to explain electromagnetic phenomena), each mode of vibration is given by a function that is the product of two functions: one only spatial, independent of time. , and another temporal, independent of space. In mathematical language, one writes h (x, y, t) = p (x, y) q (t). In these models, the function h also cancels out at any instant t (since zero multiplied for anything is always zero!). This means that the points where p (x, y) nulls out are static. These points generally form a twist of lines, which are called nodal lines. Sawdust accumulates exactly on these modal lines!

Vibrating Fixed Edge Board Who are m and n? Suppose the plate is delimited by [0, pi] x [0, pi], and the amplitude at each point is proportional to sen (nx) sen (my).