Funções de singularidade

Funções singulares são funções que pertencem a uma classe de funções descontínuas que contém singularidades, i.e. elas são descontínuas em seus pontos singulares. Tais funções são representadas como $\langle x-a\rangle ^{n}$, onde n é o expoente do integrando, ou integrador. As funções são definidas como:

n	$\langle x-a\rangle ^{n}$
$<0$	${\frac {d^{|n+1|}}{dx^{|n+1|}}}\delta (x-a)\,$
-2	${\frac {d}{dx}}\delta (x-a)\,$
-1	$\delta (x-a)\,$
0	$H(x-a)\,$
1	$(x-a)H(x-a)\,$
2	$(x-a)^{2}H(x-a)$
$\geq 0$	$(x-a)^{n}H(x-a)$

Onde: δ(x) é a função Delta de Dirac, também chamada de impulso unitário. A função H(x-a) é a Função de Heaviside: H(x-a)=0 para x<a e H(x-a)=1 para x>a. O valor de H(0) dependerá da convenção escolhida, pode valer 0, 1 ou a média (0.5), por exemplo. Note que isso apenas será um problema para n=0, já que as funções contém um termo multiplicativo de “x-a” para n>0. A expressão <x-a> é também chamada de Função Rampa.

Integração

Integrar <x-a> pode ser feito de uma maneira conveniente para a qual considera-se a constante de integração como sendo nula em x=a. A regra básica de integração é:

$\int \langle x-a\rangle ^{n}dx={\begin{cases}\langle x-a\rangle ^{n+1},&n\leq 0\\{\frac {\langle x-a\rangle ^{n+1}}{n+1}},&n\geq 0\end{cases}}$

Exemplo de aplicação

• Vigas com carregamento constante:

A deflexão de uma viga simplesmente apoiada, secção transversal constante e módulo de elasticidade, pode ser calculada usando a Teoria de Euler-Bernouli para vigas longas e sem cisalhamento. Aqui nós estamos usando a convenção de sinais de forças para baixo e momentos de flexão como sendo positivos.

Distribuição de carga:

$w=-3N\langle x-0\rangle ^{-1}\ +\ 6Nm^{-1}\langle x-2m\rangle ^{0}\ -\ 9N\langle x-4m\rangle ^{-1}\,$

Força cortante:

$S=\int wdx$

$S=-3N\langle x-0\rangle ^{0}\ +\ 6Nm^{-1}\langle x-2m\rangle ^{1}\ -\ 9N\langle x-4m\rangle ^{0}\,$

Momento de flexão:

$M=-\int Sdx$

$M=3N\langle x-0\rangle ^{1}\ -\ 3Nm^{-1}\langle x-2m\rangle ^{2}\ +\ 9N\langle x-4m\rangle ^{1}\,$

Declividade:

$u'={\frac {1}{EI}}\int Mdx$

Porque a declividade não é zero em x=0, uma constante de integração, c, é adicionada

$u'={\frac {1}{EI}}\left({\frac {3}{2}}N\langle x-0\rangle ^{2}\ -\ 1Nm^{-1}\langle x-2m\rangle ^{3}\ +\ {\frac {9}{2}}N\langle x-4m\rangle ^{2}\ +\ c\right)\,$

Deflexão:

$u=\int u'dx$

$u={\frac {1}{EI}}\left({\frac {1}{2}}N\langle x-0\rangle ^{3}\ -\ {\frac {1}{4}}Nm^{-1}\langle x-2m\rangle ^{4}\ +\ {\frac {3}{2}}N\langle x-4m\rangle ^{3}\ +\ cx\right)\,$

A condição de fronteira u=0 em x=4m nos permite resolver para c=-7Nm²