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Funtores plenos e fiéis

Na teoria de categorias, um funtor fiel (respectivamente um funtor pleno ou cheio) é um funtor que é injetivo (respectivamente sobrejetivo) quando restrito a cada conjunto de morfismos contendo origem e destino fixados.

Definições formaisEditar

Explicitamente, sejam C e D categorias (localmente pequenas) e seja F : CD um funtor de C em D. O funtor F induz uma função

 

para cada par de objetos X e Y em C. O funtor F é dito

para cada X e Y em C.

PropriedadesEditar

Um funtor fiel não precisa ser injetivo nos objetos nem nos morfismos. Isto é, dois objetos X e X′ podem ser levados a um mesmo objeto em D (é por isso que a imagem de um funtor pleno e fiel não é necessariamente isomorfa a C), e dois morfismos f : XY e f′ : X′ → Y′ (com domínios/codomínios distintos) podem ser levados em um mesmo morfismo em D. Da mesma maneira, um funtor pleno não precisa ser sobrejetivo nos objetos nem nos morfismos. Pode haver objetos em D que não são da forma FX para nenhum X em C. Morfismos entre tais objetos certamente não são obtidos de morfismos em C.

Um funtor plenamente fiel é necessariamente injetivo sobre objetos a menos de isomorfismo. Em outras palavras, se F : CD é um funtor plenamente fiel e   então  .

ExemplosEditar

  • O funtor esquecimento U : GrpSet é fiel uma vez que cada dois homomorfismos de grupo com os mesmos domínios e contradomínios são iguais se eles forem definidos pela mesma função nos conjuntos subjacentes. Esse funtor não é cheio pois existem funções entre grupos que não são homomorfismos de grupos. Uma categoria com um funtor esquecimento para Set é (por definição) uma categoria concreta; em geral, tal funtor esquecimento não é cheio.
  • O funtor inclusão AbGrp é completamente fiel, uma ves que Ab é por definição a subcategoria completa de Grp induzida pelos grupos abelianos.

Ver tambémEditar

NotasEditar

  1. Mac Lane (1971), p. 15
  2. a b Jacobson (2009), p. 22
  3. Mac Lane (1971), p. 14

ReferênciasEditar