Hierarquia analítica

Na lógica matemática e na Teoria descritiva de conjuntos, a hierarquia analítica é uma extensão da hierarquia aritmética. A hierarquia analítica de fórmulas inclui fórmulas na linguagem da aritmética de segunda ordem, que podem ter quantificadores tanto sobre o conjunto dos números naturais, $\mathbb {N}$, quanto sobre as funções de $\mathbb {N}$ em $\mathbb {N}$. A hierarquia analítica de conjuntos classifica-se pelas fórmulas que podem ser utilizadas para defini-las, que é a versão lightface da projeção hierárquica.

A hierarquia analítica de fórmulas

A notação $\Sigma _{0}^{1}=\Pi _{0}^{1}=\Delta _{0}^{1}$ indica a classe de fórmulas na linguagem da aritmética de segunda ordem sem quantificadores sobre conjuntos. Esta linguagem não contém conjuntos como parâmetros. As letras gregas aqui são símbolos lightface, que indicam a escolha da linguagem. Cada símbolo em negrito denota a classe correspondente de fórmulas na linguagem estendida com um parâmetro para cada Número real.

A fórmula na linguagem da aritmética de segunda ordem é definido como $\Sigma _{n+1}^{1}$ se é logicamente equivalente a uma fórmula da forma $\exists X_{1}\cdots \exists X_{k}\psi$ onde $\psi$ é $\Pi _{n}^{1}$. Uma fórmula é definida como sendo $\Pi _{n+1}^{1}$ se é logicamente equivalente a uma fórmula da forma $\forall X_{1}\cdots \forall X_{k}\psi$ onde $\psi$ é $\Sigma _{n}^{1}$. Esta definição indutiva define as classes $\Sigma _{n}^{1}$ e $\Pi _{n}^{1}$ para cada número natural $n$.

Se cada fórmula tem uma forma normal prenex , cada fórmula na linguagem da aritmética de segunda ordem é $\Sigma _{n}^{1}$ ou $\Pi _{n}^{1}$ para algum $n$. Dado que quantificadores inúteis podem ser adicionados a qualquer fórmula, uma vez que uma fórmula recebe a classificação $\Sigma _{n}^{1}$ ou $\Pi _{n}^{1}$ para algum $n$ ela também receberá as classificações $\Sigma _{m}^{1}$ e $\Pi _{m}^{1}$ para todo $m$ maior que $n$.

A hierarquia analítica dos conjuntos de números naturais

Ao conjunto dos números naturais é atribuída a classificação $\Sigma _{n}^{1}$se é definido pela fórmula $\Sigma _{n}^{1}$. Ao conjunto é atribuída a classificação $\Pi _{n}^{1}$ se for definido pela fórmula $\Pi _{n}^{1}$. Se o conjunto for tanto $\Sigma _{n}^{1}$ como $\Pi _{n}^{1}$ então lhe é dada a classificação adicional $\Delta _{n}^{1}$.

Os conjuntos $\Delta _{1}^{1}$ são chamados Hiper aritméticos. Uma classificação alternativa para esses conjuntos por meio de de funções computacionais é fornecida pela Teoria Hiper aritmética. Ver Hiperoperação.

A hierarquia analítica em subconjuntos dos espaços de Cantor e de Baire

A hierarquia analítica pode ser definida em qualquer espaço efetivo polonês que admite uma apresentação computável, a definição é particularmente simples para os espaços de Cantor e de Baire, porque eles se encaixam com a linguagem da aritmética de segunda ordem comum. O espaço de Cantor é o conjunto de todas as seqüências infinitas de 0s e 1s; o espaço de Baire é o conjunto de todas as seqüências infinitas de números naturais. Estes são ambos espaços poloneses.

A axiomatização ordinária de segunda ordem aritmética utiliza uma linguagem baseada em conjunto no qual o conjunto de quantificadores, naturalmente, pode ser visto como a quantificação ao longo do espaço de Cantor. Um subconjunto do espaço de Cantor é atribuído à classificação $\Sigma _{n}^{1}$ se isto for definido por uma fórmula $\Sigma _{n}^{1}$. Ao conjunto é atribuída a classificação $\Pi _{n}^{1}$ se este for definido por uma fórmula $\Pi _{n}^{1}$. Se o conjunto for tanto $\Sigma _{n}^{1}$ como $\Pi _{n}^{1}$ então ele recebe a classificação adicional $\Delta _{n}^{1}$.

Um subconjunto do espaço de Baire tem um subconjunto correspondente do espaço Cantor sob o mapa que leva cada função de $\omega$ para $\omega$ para a função característica de seu gráfico . Ao subconjunto de espaço de Baire é dada a classificação $\Sigma _{n}^{1}$, $\Pi _{n}^{1}$, ou $\Delta _{n}^{1}$se e só se o subconjunto correspondente do espaço de Cantor tem a mesma classificação. Uma definição equivalente da hierarquia analítica em espaço de Baire é dada pela definição da hierarquia analítica de fórmulas utilizando uma versão funcional da aritmética de segunda ordem, logo a hierarquia analítica em subconjuntos de espaço de Cantor pode ser definida a partir da hierarquia no espaço de Baire. Esta definição alternativa dá exatamente as mesmas classificações, como a primeira definição.

A razão pela qual o espaço de Cantor é homeomórfico a qualquer potência cartesiana finita própria, e que o espaço de Baire é homeomórfico a qualquer potência cartesiana finita de si mesma, é que a hierarquia analítica se aplica igualmente bem a potência finita cartesiana desses espaços. A extensão semelhante é possível para potências contáveis ​​e para os produtos de potências de espaço de Cantor e potências do espaço de Baire.

Extensões

Assim como a hierarquia aritmética, uma versão relativizada da hierarquia analítica pode ser definida. A linguagem é estendida para incluir um conjunto de símbolos constantes A. Uma fórmula na linguagem estendida é definida indutivamente como sendo $\Sigma _{n}^{1,A}$ ou $\Pi _{n}^{1,A}$ usando a mesma definição indutiva como acima. Dado um conjunto de $Y$, um grupo é definido como $\Sigma _{n}^{1,Y}$ se for definido por uma fórmula $\Sigma _{n}^{1,A}$ na qual o símbolo $A$ é interpretado como $Y$; definições similares para $\Pi _{n}^{1,Y}$ e $\Delta _{n}^{1,Y}$ se aplicam. Os conjuntos que são $\Sigma _{n}^{1,Y}$ ou $\Pi _{n}^{1,Y}$, para algum parâmetro Y, são classificados na hierarquia projetiva.

Exemplos

• O conjunto de todos os números naturais que são índices de números ordinais computáveis ​​é um $\Pi _{1}^{1}$ que não é $\Sigma _{1}^{1}$.
• O conjunto de elementos de espaço de Cantor , que são as funções características bem ordenadas $\omega$ é um conjunto $\Pi _{1}^{1}$ que não é $\Sigma _{1}^{1}$. Na verdade, este conjunto não é $\Sigma _{1}^{1,Y}$ para nenhum elemento $Y$ do espaço de Baire.
• Se o axioma da construtibilidade vale então existe um subconjunto do produto do espaço de Baire com ele, que é $\Delta _{2}^{1}$ e é o gráfico de uma boa ordenação do espaço de Baire. Se o axioma vale então exixte também uma boa ordenação $\Delta _{2}^{1}$ sobre o espaço de Cantor.

Propriedades

Para cada $n$ temos as seguintes propriedades estritas:

$\Pi _{n}^{1}\subset \Sigma _{n+1}^{1}$,

$\Pi _{n}^{1}\subset \Pi _{n+1}^{1}$,

$\Sigma _{n}^{1}\subset \Pi _{n+1}^{1}$,

$\Sigma _{n}^{1}\subset \Sigma _{n+1}^{1}$.

Um conjunto que está em $\Sigma _{n}^{1}$ para algum n é dito ser analítico. O cuidado é necessário para distinguir este uso do termo conjunto analítico, que tem um significado diferente.

Ligações externas

• PlanetMath page

Referências

• Rogers, H. (1967). Theory of recursive functions and effective computability. [S.l.]: McGraw-Hill 
• Kechris, A. (1995). Classical Descriptive Set Theory Graduate Texts in Mathematics 156 ed. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-94374-9