Lógica de Łukasiewicz

Em matemática, a lógica de Łukasiewicz (em inglês:/luːkəˈʃɛvɪtʃ/; em polonês: /wukaˈɕɛvʲitʂ/), é uma lógica não-clássica multivalorada. Foi definida por Jan Łukasiewicz como uma lógica trivaluada. Posteriormente, foi generalizada para n valores (com n finito), bem como para infinitamente valorada (ℵ₀-valorada), ambas proposicionais e de primeira ordem. A versão ℵ₀-valorada foi publicada em 1930 por Łukasiewicz e Alfred Tarski, ficando conhecida como lógica de Łukasiewicz-Tarski.

Linguagem

Os conectivos proposicionais da lógica de Łukasiewicz são:

• implicação $\rightarrow$,
• negação $\neg$,
• equivalência $\leftrightarrow$,
• conjunção fraca $\wedge$,
• conjunção forte $\otimes$,
• disjunção fraca $\vee$,
• disjunção forte $\oplus$,

e constantes proposicionais ${\overline {0}}$ e ${\overline {1}}$. A presença de conjunções e disjunções é comum em subestruturas lógicas que não possuem a regra de contração, da qual a lógica de Łukasiewicz faz parte.

Axiomas

A axiomática original para sistemas proposicionais infinitamente-valorados da lógica de Łukasiewicz utiliza a implicação e a negação como conectivos primitivos:

$A\rightarrow (B\rightarrow A)$

$(A\rightarrow B)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow C))$

$((A\rightarrow B)\rightarrow B)\rightarrow ((B\rightarrow A)\rightarrow A)$

$(\neg B\rightarrow \neg A)\rightarrow (A\rightarrow B).$

A lógica proposicional multivalorada de Łukasiewicz também pode ser axiomatizada pela adição dos seguintes axiomas ao sistema axiomático de um lógica monoidal de norma T:

• Divisibilidade: $(A\wedge B)\rightarrow (A\otimes (A\rightarrow B))$
• Negação dupla: $\neg \neg A\rightarrow A.$

Para uma lógica de Łukasiewicz finitamente valorada, são necessários outros axiomas.

Semântica

A lógica de Łukasiewicz é uma lógica de real-valor das quais as sentenças podem assumir um valor verdadeiro e não apenas um ou zero mas qualquer número real no intervalo (por exemplo 0,25). As valorações têm um definição recursiva:

• $w(\theta \circ \phi )=F_{\circ }(w(\theta ),w(\phi ))$ para um conector binário $\circ ,$
• $w(\neg \theta )=F_{\neg }(w(\theta )),$
• $w({\overline {0}})=0$ e $w({\overline {1}})=1,$

onde as definições dos operadores são as seguintes:

• Implicação: $F_{\rightarrow }(x,y)=\min\{1,1-x+y\}$
• Equivalência: $F_{\leftrightarrow }(x,y)=1-|x-y|$
• Negação: $F_{\neg }(x)=1-x$
• Conjunção fraca: $F_{\wedge }(x,y)=\min\{x,y\}$
• Disjunção fraca: $F_{\vee }(x,y)=\max\{x,y\}$
• Conjunção forte: $F(x,y)=\max\{0,x+y-1\}$
• Disjunção forte: $F(x,y)=\min\{1,x+y\}.$

A função verdade $F\otimes$ da conjunção forte é a norma-T de Łukasiewicz e a função verdade $F\oplus$ da disjunção forte é seu dual conomra-T. A função verdade $F_{\rightarrow }$ é o resíduo da norma-T de Łukasiewicz. Todas as funções verdade baseadas em conectivos são contínuas.

Por definição, a fórmula é uma tautologia lógica de Łukasiewicz infinitamente valorada se ela vale 1 sob qualquer variação das variáveis proposicionais por um número real no intervalo [0, 1].

Semântica finitamente valorada

Usando exatamente as mesmas fórmulas de valoração para uma semântica de valores reais, está definida a menos de isomorfismo:

• Qualquer conjunto finito de cardinalidade n ≥ 2 escolhendo como domínio { 0, 1/(n − 1), 2/(n − 1), ..., 1 }
• Qualquer conjunto enumerável escolhendo o conjunto como { p/q | 0 ≤ p ≤ q onde p é um inteiro não-negativo e q é um inteiro positivo }.

Ver também

• Paradoxo de Tarski-Seidenberg
• Lógica difusa