Lúnulas de Hipócrates

As regiões em cinza são lúnulas.

Lúnula é um termo em geometria para uma região côncava-convexa formada por dois arcos.

Bibliografia

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[1]Hipócrates de Quios (cerca de 470 – 410 a.C) foi um dos pitagóricos. Apesar de haver poucos relatos de sua vida, sabe-se que foi um excelente geômetra, gostava muito de analisar as luas crescentes, que em matemática chama-se Lúnulas. Ensinou Geometria em Atenas e dedicou muito de seu tempo estudando problemas de meandros da história antiga, entre eles destaca-se A Quadratura do Círculo e Duplicação do Cubo. Durante as tentativas de quadrar o círculo Hipócrates calculou áreas de algumas “lúnulas”, que resultou em um problema conhecido hoje como Lúnulas de Hipócrates.

Definição

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Uma Lúnula também é conhecida como “lua” ou “meia-lua”, em geometria uma lúnula é uma figura geométrica limitada por dois arcos circulares de raios distintos.

Formalmente, uma lúnula é um complemento de um círculo em outro, situados de forma que ambos se intersectem, e nenhum seja subconjunto do outro. Isto é se X e Y são círculos, então:

 

Aplicação das lúnulas no triângulo retângulo

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[2]Seja ABC um triângulo retângulo, reto em Â. Utilizando três semicírculos: seja BC o diâmetro da semicircunferência que passa por A, o diâmetro AB e o diâmetro AC, desta forma obtemos as lúnulas E e D formadas sobre os catetos.

 
Aplicação das lúnulas no triângulo retângulo

Demonstração

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[2]Hipócrates concluiu utilizando a generalização do teorema de Pitágoras, que a medida da área do triângulo retângulo ABC é igual à soma das medidas das áreas das lúnulas construídas sobre seus catetos.

 
Aplicação das lúnulas no triângulo retângulo

Seja x e Y, respectivamente, as regiões delimitadas pelo semicírculo de diâmetro BC e pelos catetos AC e AB, como mostra a figura.

Sendo A(t), A(e), A(d), A(x) e A(y), respectivamente as áreas do triângulo, das lúnulas e das regiões X e Y, podemos escrever:

  • Área do semicírculo de diâmetro BC: (1) 
  • Área do semicírculo de diâmetro AB: (2)  
  • Área do semicírculo de diâmetro AC: (3)  

Somando membro a membro as igualdades (2) e (3), obtemos:

 

Como o triângulo é ABC é retângulo, temos que a, b e c satisfazem a relação dada pelo teorema de Pitágoras, deste modo a relação dada acima pode ser expressa da seguinte forma:

 

Comparando essa equação com a igualdade (1) obtemos:

 

Desta forma podemos concluir que

 

Referências

  1. OLIVEIRA, Alfredo Luiz Chaves de. O Teorema de Pitágoras: Demonstrações e Aplicações. 2013. 46 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Matemática, Universidade Estadual do Ceará, Fortaleza, 2013. Cap. 4
  2. a b Silva, João Evangelino (2014). «Teorema de Pitágoras: algumas extensões/ generalizações e atividades com o software GeoGebra» (PDF). Consultado em 4 de julho de 2016