Lema de Hautus

Em Teoria de Controle,[1] o Lema de Hautus[2] é uma poderosa ferramenta matemática utilizada para o estudo das propriedades de sistemas lineares invariantes no tempo (SLIT) e que estejam na forma de espaço de estados.

IntroduçãoEditar

Esse lema foi proposto por Malo Hautus, professor aposentado pela Technische Universiteit Eindhoven da Holanda, em seu trabalho Controllability and Observability Conditions of Linear Autonomous Systems[2] de Janeiro de 1969. Neste artigo, Hautus faz uma análise de sistema de controle lineares abordando diversos aspectos, como controlabilidade e observabilidade de sistemas. Existem diversas abordagens em que o Lema de Hautus se mostra útil para determinar características de sistemas:

  • controlabilidade;
  • observabilidade;
  • estabilidade;
  • e detectabilidade.

Nos tópicos a seguir, elas serão tratadas com maiores detalhes.

Lema de HautusEditar

ControlabilidadeEditar

O Lema de Hautus para controlabilidade[3][4][5] afirma que, dadas uma matriz   e uma matriz  , as seguintes afirmações são equivalentes:

  1. o par   é controlável;
  2. para todo  , segue que  ;
  3. para todo   que são autovalores de  , segue que  .

ObservabilidadeEditar

O Lema de Hautus para observabilidade[6][5] surge como corolário do Lema de Hautus para controlabilidade. Assim, dada uma matriz   e uma matriz  , o lema afirma que as seguintes afirmações são equivalentes:

  1. o par   é observável;
  2. para todo  , a matriz   tem posto-coluna pleno;

EstabilizabilidadeEditar

O Lema de Hautus para estabilizabilidade afirma que, dadas uma matriz   e uma matriz  , as seguintes afirmações são equivalentes:

  1. o par   é estabilizável;
  2. para todo   e para os quais  , segue que  .

DetectabilidadeEditar

O Lema de Hautus para detectabilidade[7] surge como corolário do Lema de Hautus para estabilizabilidade. Assim, dada uma matriz   e uma matriz  , o lema afirma que as seguintes afirmações são equivalentes:

  1. o par   é detectável;
  2. não há autovetores da matriz   associados a um autovalor de parte real não negativa que sejam ortogonais às linhas de  ;
  3. para todo   com   a matriz   tem posto-coluna pleno.

ExemploEditar

ControlabilidadeEditar

Considere um sistema linear dado pelas seguintes matrizes:

  e  

Calcula-se os autovalores da matriz   utilizando a fórmula  . Dela, os autovalores de   obtidos são  .

Em seguida, deve-se analisar o sistema ao calcular o posto das matrizes   e   concatenadas na forma   para cada autovalor encontrado. Nesse caso, três cálculos serão realizados:

  •  ;


  •  ;


  •  ;

Ao analisar os casos acima, percebe-se que apenas os casos em que o autovalor vale   e   são controláveis, pois a matriz   apresentou posto pleno:

 

Referências

  1. Zabczyk, Jerzy (1995). Mathematical Control Theory – An introduction. Boston: Birkhauser. ISBN 3-7643-3645-5 
  2. a b «Controllability and Observability Conditions of Linear Autonomous Systems». Consultado em 29 de junho de 2017 
  3. Sontag, Eduard D. (1998). Mathematical Control Theory: Deterministic Finite-Dimensional Systems. New York: Springer. ISBN 0-387-98489-5 
  4. «Chapter 3 - Controllability and Observability» (PDF). Consultado em 29 de junho de 2017 
  5. a b «Control Systems Design, SC4026» (PDF). Consultado em 29 de junho de 2017 
  6. Corless, Martin J., Frazho, Arthur E. (2007). Linear Systemas and Control: An Operator Perspective. New York: Marcel Dekker, Inc. p. 45. ISBN 0-8247-0729-X 
  7. Willians II, Robert L., Lawrence, Douglas A. (2007). Linear State-space Control Systems. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-73555-7