Limite ultra-relativístico

Em física, uma partícula é chamada ultra-relativística quando sua velocidade é muito próxima da velocidade da luz c. A notação comumente usada é $v\approx c$ ou $\beta \approx 1$ ou $\gamma \gg 1$ onde $\gamma$ o fator de Lorentz, $\beta =v/c$ e c a velocidade da luz.

A energia de uma partícula ultra-relativística é quase completamente devido à sua energia cinética $E_{k}=(\gamma -1)mc^{2}$. A energia total também pode ser aproximado como $E=\gamma mc^{2}\approx pc$ onde $p=\gamma mv$ é o momentum invariante de Lorentz.

Isto pode resultar da manutenção da massa fixa e do aumento da energia cinética para valores muito grandes ou da manutenção da energia E fixa e encolhendo a massa m para valores muito pequenos, o que também implica uma $\gamma$ muito grande. Partículas com massa muito pequena não precisam de muita energia para viajar a uma velocidade próxima de c. Este último é usado para derivar órbitas de partículas sem massa, como o fóton daquelas de partículas massivas (cf. problema de Kepler na relatividade geral).

Aproximações ultrarelativísticas

Abaixo estão algumas aproximações ultrarelativísticas quando $\beta \approx 1$. A rapidez é denotada $w$:

$1-\beta \approx {\frac {1}{2\gamma ^{2}}}$

$w\approx ln(2\gamma )$

• Movimento com aceleração própria constante: d ≈ e^aτ/(2a), onde d é a distância percorrida, a = dφ/dτ é a aceleração própria (com aτ ≫ 1), τ é o tempo próprio, e a viagem começa em repouso e sem mudar a direção da aceleração (ver aceleração própria para mais detalhes).
• Colisão de alvo fixa com movimento ultrarelativístico do centro de massa: E_CM ≈ √2E₁E₂ onde E₁ e E₂ são energias da partícula e do alvo, respectivamente (então E₁ ≫ E₂), e E_CM é energia no referencial do centro de massa.

Precisão da aproximação

Para cálculos da energia de uma partícula, o erro relativo do limite ultrarelativístico para uma velocidade v = 0.95c é aproximadamente 10%, e para v = 0.99c é de apenas 2%. Para partículas tais como os neutrinos, cujo γ (fator de Lorentz) geralmente está acima de 10⁶ (v praticamente indistinguível de c), a aproximação é essencialmente exata.

Outros limites

O caso oposto (v ≪ c) é a assim chamada partícula clássica, onde sua velocidade é muito menor que c. Sua energia cinética pode ser aproximada pelo primeiro termo da série binomial $\gamma$:

$E_{k}=(\gamma -1)mc^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}+\left[{\frac {3}{8}}m{\frac {v^{4}}{c^{2}}}+...+mc^{2}{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}{\frac {v^{2n}}{c^{2n}}}+...\right]$

Ver também

• Partícula relativística
• Mecânica clássica
• Relatividade restrita
• Ultraimpulso de Aichelburg–Sexl