Limites de integração

Na análise matemática e no cálculo, os limites de integração da integral de uma função integrável de Riemann $f$ definida em um intervalo fechado e limitada são os números reais $a$ e $b$.

Os limites de integração são $a=1$ e $b=4$, logo, $(-4^{-1})-(-1^{-1})={\frac {3}{4}}$.

Fórmula de Newton-Leibniz

Pela fórmula de Newton-Leibniz, $F(x)=\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

Exemplo

A função $f(x)=x^{3}$ limitada no intervalo $[2,4]$, ou seja com os limites da integração sendo $2$ e $4$.

$\int _{2}^{4}x^{3}\,dx={\frac {4^{4}}{4}}-{\frac {2^{4}}{4}}=64-4=60$

Em uma mudança de variável

Seja $f(x)$ uma função contínua no intervalo $a\leq x\leq b$ e $u=\varphi (x)$ uma função contínua em $\alpha \leq u\leq \beta$, onde $\alpha =\varphi (a)$ e $\beta =\varphi (b)$ e $f(\varphi (x))$ é definida e contínua no intervalo $\alpha \leq u\leq \beta$, então

$F(x)=\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(\varphi (x))\varphi '(x)dx=\int _{\alpha }^{\beta }f(u)du$

Exemplo

$\int _{0}^{2}2x\cos(x^{2})dx=\int _{0}^{4}\cos(u)du$

onde $u=x^{2}$ e $du=2xdx$. Portanto, $\varphi (0)=0^{2}=0$ e $\varphi (2)=2^{2}=4$. Daí, os novos limites de integração são $0$ e $4$.

O mesmo se aplica a outras substituições.

Integrais impróprias

A integral é imprópria, pois $a=0$ e $F(x)=-x^{-1}$ é indefinida nesse ponto.

Limites de integração também podem ser definidos para integrais impróprias, com os limites de integração de ambos

$\lim _{z\rightarrow a^{+}}\int _{z}^{b}f(x)\,dx$ e $\lim _{z\rightarrow b^{-}}\int _{a}^{z}f(x)\,dx$

novamente sendo $a$ e $b$. Para uma integral imprópria

$\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx$ ou $\int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx$

os limites da integração são $a$ e $\infty$, ou $-\infty$ e $b$, respectivamente.

Integrais Definidas

Se $c\in (a,b)$, então

$\int _{a}^{b}f(x)\ dx=\int _{a}^{c}f(x)\ dx\ +\int _{c}^{b}f(x)\ dx$.