Método bola traço

O método bola traço é na Análise combinatória um dispositivo visual para a facilitação da operação de contagem. Foi popularizado por William Feller e é especialmente útil para a demonstração de vários teoremas combinatórios simples. Pode resolver qualquer problema análogo à "permutar n elementos iguais, entre k compartimentos distintos"[1]

Enunciado dos teoremasEditar

Ao longo deste artigo,   denotará o conjunto dos inteiros não-negativos, i.e.,  . O conjunto dos inteiros positivos é, portanto,  .

Teorema 1. Sejam   e   inteiros positivos. Se  , então o número de elementos de   é  .

Teorema 2. Se  , então  .

DiscussãoEditar

Primeiro vejamos como os teoremas anteriores são logicamente equivalentes: temos uma bijeção   dada por  .

Para provarmos o Teorema 1, observe como podemos representar os seguintes elementos de  :

 
O elemento   será representado por esta configuração.
 
 
 
 

Veremos um elemento de   como uma configuração de   posições (  bolas e   traços, ou   estrelas e   barras), escolhendo   posições para as barras. Precisamente, se   é o conjunto de todas as  -tuplas estritamente crescentes com entradas no conjunto  , temos a bijeção   dada por  . A inversa leva  . Isso prova o Teorema 1.

ExemploEditar

Considere a série de potências formal  . Temos  . Mas   é precisamente  ; então  . Analogamente,  . Essas igualdades valem no sentido analítico para  , como consequência do Teorema de Cauchy-Mertens (há convergência absoluta). Com essa igualdade válida para   e usando que  , podemos tomar derivadas sucessivas para concluir que  , donde   ‒ outra prova do Teorema 1.

Potências simétricas de um espaço vetorialEditar

Se   é um espaço vetorial sobre um corpo  , a  -ésima potência simétrica de   pode ser definida como  , onde   é o subespaço gerado por todos os tensores da forma  ,  . Recebe esse nome porque toda função  -linear simétrica fatora-se através de  . Denotando por   a imagem de   no quociente e agrupando fatores como o fazemos num produto usual, por meio de potências[2], vê-se sem muita dificuldade que   é base para   se   é base para o espaço  -dimensional  . Daí segue imediatamente que  .

Referências

  1. Feller W - An Introduction to Probability Theory and its Applications. Vol I 1950
  2. Há uma estrutura de álgebra em  .
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