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Método de Euler

método de integração numérica
Ilustração do método de Euler. A curva desconhecida está em azul, e sua aproximação polinomial está em vermelho.[1]

Em matemática e ciência computacional, o método de Euler, cujo nome relaciona-se com Leonhard Euler, é um procedimento numérico de primeira ordem para solucionar equações diferenciais ordinárias com um valor inicial dado. É o tipo mais básico de método explícito para integração numérica para equações diferenciais ordinárias.

Índice

Formulação do Método de EulerEditar

Suponha que queremos aproximar a solução de um problema de valor inicial:

 

Escolhendo um valor para   para o tamanho de cada passo e atribuindo a cada passo um ponto dentro do intervalo, temos que  . Nisso, o próximo passo   a partir do anterior   fica definido como  , então: [2]

  Com isso, para um valor menor de   teremos mais passos dentro de um dado intervalo, mas que terá melhor aproximação com o valor analítico.

O valor de   é uma aproximação da solução da EDO no ponto  :  . O Método de Euler é explícito, ou seja, a solução   é uma função explícita de   para  .

Enquanto o Método de Euler integra uma EDO de primeira ordem, qualquer EDO de ordem N pode ser representada como uma equação de primeira ordem: tendo a equação

 ,

temos a introdução de variáveis auxiliares   obtendo a seguinte equação:

 

Este é um sistema de primeira ordem na variável   e pode ser usada através do Método de Euler ou qualquer outros métodos de resoluções de sistemas de primeira ordem.[3]

ExemploEditar

Dado o problema de valor inicial

 

vamos usar o método de Euler para aproximar  .[4]

Usando um passo igual a 1 (h = 1)Editar

 
Ilustração da integração numérica para o exemplo  [5] A curva em Azul é o método de Euler com h = 1.0.; em Verde, o ponto médio e em Vermelho, o valor exato da solução,  

O método de Euler é

 

Primeiramente devemos aplicar o ponto  . Nesse exemplo, a função   é definida por  . Nisso, temos que

 

Através do passo acima, vemos que a declividade da linha é tangente à solução da curva no ponto  . Lembre que a declividade é definida como a variação numérica de   em relação a  , ou  .

O próximo passo é multiplicar o valor acima pelo tamanho do passo  , que nesse caso resultará em:

 

Como o tamanho do passo é a variação em  , quando multiplicamos esse passo pela declividade da tangente, resultamos em um novo valor para  . Esse valor é então colocado ao valor de   inicial, com o objetivo de obtermos o próximo valor para ser usado de modo recursivo.

 

Os passos acima devem ser repetidos para assim encontrarmos  ,   e  .

 

Como isso se torna um processo repetitivo, uma boa forma de organizar cada iteração em forma de tabela, evitando a possibilidade de erros.

             
0 1 0 1 1 1 2
1 2 1 2 1 2 4
2 4 2 4 1 4 8
3 8 3 8 1 8 16

A conclusão desse método é de que  , enquanto a solução exata da equação diferencial é  , então  . Nesse caso, a aproximação por Método de Euler não é muito eficiente, porém podemos ver na imagem que o comportamento de ambas as curvas são semelhantes.

Usando outros tamanhos para hEditar

 
A mesma ilustração para h = 0.25.

Como mostrado no início, o método possui sua aproximação aprimorada quando tomamos valores cada vez menores para  . A tabela abaixo mostra o resultado para diferentes tamanhos de  . A primeira linha são os valores para  , conforme descrito no tópico anterior. Já a segunda linha é para  , conforme ilustrado ao lado.

Tamanho de   Resultado do Método de Euler Erro Absoluto
1 16 38,598
0,25 35,53 19,07
0,1 45,26 9,34
0,05 49,56 5,04
0,025 51,98 2,62
0,0125 53,26 1,34

O erro absoluto é a diferença entre o valor obtido por Euler e o valor exato da solução para  . Podemos ver que, ao ponto que o valor de   vai caindo pela metade a cada linha, o erro aproximadamente possui o mesmo comportamento. Isso sugere que o erro absoluto é relativamente proporcional ao tamanho do passo de cada iteração adotado. Essa notação perde a validade para passos muito pequenos, mas geralmente é válida em demais equações; consulte Erro de truncamento para mais detalhes.

Em outros métodos ilustrados, como o Método dos Pontos Médios neste caso mostraram-se mais razoáveis, pois este possui uma precisão proporcional quadrática do tamanho do passo. Por essa razão, tem-se o Método de Euler como um método de primeira ordem, enquanto o Método dos Pontos Médios é dito como de segunda ordem.

Podemos extrapolar a tabela acima se precisamos de uma melhor precisão através da escolha de valores como   que, para chegar em  , necessitamos de 400.000 passos. Esse método demanda, portanto, um grande custo computacional; com isso, usam-se métodos com maior ordem de precisão, como o Método de Runge-Kutta, quando uma grande aproximação é necessária.[6]

Método de Euler contra métodos de ordem maiorEditar

A ordem de um método mede o quão rapidamente este converge para a solução analítica quando se diminui os passos na integração numérica [7]. Infelizmente devido a limitações computacionais, erros de arredondamento crescem quando se diminui o tamanho dos passos, ocorrendo até mesmo divergência ou mesmo valores errados. Uma forma de resolver este problema é aumentar a ordem do método numérico. Por exemplo, métodos de ordem maiores incluem método de Runge-Kutta e o método de Euler melhorado.

NotasEditar

  1. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 23 de março de 2016 
  2. Butcher 2003, p. 45; Hairer, Nørsett & Wanner 1993, p. 36
  3. Butcher 2003, p. 3; Hairer, Nørsett & Wanner 1993, p. 2
  4. Veja Também Atkinson 1989, p. 344
  5. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 23 de março de 2016 
  6. Hairer, Nørsett & Wanner 1993, p. 40
  7. Devries, Paul L. ; Hasbun, Javier E. A first course in computational physics. Second edition. Jones and Bartlett Publishers: 2011.

Ver tambémEditar