Método de Euler

Em matemática e ciência computacional, o método de Euler, cujo nome relaciona-se com Leonhard Euler, é um procedimento numérico de primeira ordem para solucionar equações diferenciais ordinárias com um valor inicial dado. É o tipo mais básico de método explícito para integração numérica para equações diferenciais ordinárias.

Ilustração do método de Euler. A curva desconhecida está em azul, e sua aproximação polinomial está em vermelho.

Formulação do Método de Euler

Suponha que queremos aproximar a solução de um problema de valor inicial:

$y'(t)=f(t,y(t)),\qquad \qquad y(t_{0})=y_{0}.$

Escolhendo um valor para $h$ para o tamanho de cada passo e atribuindo a cada passo um ponto dentro do intervalo, temos que $t_{n}=t_{0}+nh$. Nisso, o próximo passo $t_{n+1}$ a partir do anterior $t_{n}$ fica definido como $t_{n+1}=t_{n}+h$, então:

$y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).$ Com isso, para um valor menor de $h$ teremos mais passos dentro de um dado intervalo, mas que terá melhor aproximação com o valor analítico.

O valor de $y_{n}$ é uma aproximação da solução da EDO no ponto $t_{n}$: $y_{n}\approx y(t_{n})$. O Método de Euler é explícito, ou seja, a solução $y_{n+1}$ é uma função explícita de $y_{i}$ para $i\leq n$.

Enquanto o Método de Euler integra uma EDO de primeira ordem, qualquer EDO de ordem N pode ser representada como uma equação de primeira ordem: tendo a equação

$y^{(N)}(t)=f(t,y(t),y'(t),\ldots ,y^{(N-1)}(t))$,

temos a introdução de variáveis auxiliares $z_{1}(t)=y(t),z_{2}(t)=y'(t),\ldots ,z_{N}(t)=y^{(N-1)}(t)$ obtendo a seguinte equação:

$\mathbf {z} '(t)={\begin{pmatrix}z_{1}'(t)\\\vdots \\z_{N-1}'(t)\\z_{N}'(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y'(t)\\\vdots \\y^{(N-1)}(t)\\y^{(N)}(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z_{2}(t)\\\vdots \\z_{N}(t)\\f(t,z_{1}(t),\ldots ,z_{N}(t))\end{pmatrix}}$

Este é um sistema de primeira ordem na variável $\mathbf {z} (t)$ e pode ser usada através do Método de Euler ou qualquer outros métodos de resoluções de sistemas de primeira ordem.

Exemplo

Dado o problema de valor inicial

$y'=y,\quad y(0)=1,$

vamos usar o método de Euler para aproximar $y(4)$.

Usando um passo igual a 1 (h = 1)

Ilustração da integração numérica para o exemplo $y'=y,y(0)=1.$ A curva em Azul é o método de Euler com h = 1.0.; em Verde, o ponto médio e em Vermelho, o valor exato da solução, $y=e^{t}.$

O método de Euler é

$y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).\qquad \qquad$

Primeiramente devemos aplicar o ponto $f(t_{0},y_{0})$. Nesse exemplo, a função $f$ é definida por $f(t,y)=y$. Nisso, temos que

$f(t_{0},y_{0})=f(0,1)=1.\qquad \qquad$

Através do passo acima, vemos que a declividade da linha é tangente à solução da curva no ponto $(0,1)$. Lembre que a declividade é definida como a variação numérica de $y$ em relação a $t$, ou $\Delta y/\Delta t$.

O próximo passo é multiplicar o valor acima pelo tamanho do passo $h$, que nesse caso resultará em:

$h\cdot f(y_{0})=1\cdot 1=1.\qquad \qquad$

Como o tamanho do passo é a variação em $t$, quando multiplicamos esse passo pela declividade da tangente, resultamos em um novo valor para $y$. Esse valor é então colocado ao valor de $y$ inicial, com o objetivo de obtermos o próximo valor para ser usado de modo recursivo.

$y_{0}+hf(y_{0})=y_{1}=1+1\cdot 1=2.\qquad \qquad$

Os passos acima devem ser repetidos para assim encontrarmos $y_{2}$, $y_{3}$ e $y_{4}$.

${\begin{aligned}y_{2}&=y_{1}+hf(y_{1})=2+1\cdot 2=4,\\y_{3}&=y_{2}+hf(y_{2})=4+1\cdot 4=8,\\y_{4}&=y_{3}+hf(y_{3})=8+1\cdot 8=16.\end{aligned}}$

Como isso se torna um processo repetitivo, uma boa forma de organizar cada iteração em forma de tabela, evitando a possibilidade de erros.

$n$	$y_{n}$	$t_{n}$	$f(t_{n},y_{n})$	$h$	$\Delta y$	$y_{n+1}$
0	1	0	1	1	1	2
1	2	1	2	1	2	4
2	4	2	4	1	4	8
3	8	3	8	1	8	16

A conclusão desse método é de que $y_{4}=16$, enquanto a solução exata da equação diferencial é $y(t)=e^{t}$, então $y(4)=e^{4}\approx 54,598$. Nesse caso, a aproximação por Método de Euler não é muito eficiente, porém podemos ver na imagem que o comportamento de ambas as curvas são semelhantes.

Usando outros tamanhos para h

A mesma ilustração para h = 0.25.

Como mostrado no início, o método possui sua aproximação aprimorada quando tomamos valores cada vez menores para $h$. A tabela abaixo mostra o resultado para diferentes tamanhos de $h$. A primeira linha são os valores para $h=1$, conforme descrito no tópico anterior. Já a segunda linha é para $h=0,25$, conforme ilustrado ao lado.

Tamanho de $h$	Resultado do Método de Euler	Erro Absoluto
1	16	38,598
0,25	35,53	19,07
0,1	45,26	9,34
0,05	49,56	5,04
0,025	51,98	2,62
0,0125	53,26	1,34

O erro absoluto é a diferença entre o valor obtido por Euler e o valor exato da solução para $t=4$. Podemos ver que, ao ponto que o valor de $h$ vai caindo pela metade a cada linha, o erro aproximadamente possui o mesmo comportamento. Isso sugere que o erro absoluto é relativamente proporcional ao tamanho do passo de cada iteração adotado. Essa notação perde a validade para passos muito pequenos, mas geralmente é válida em demais equações; consulte Erro de truncamento para mais detalhes.

Em outros métodos ilustrados, como o Método dos Pontos Médios neste caso mostraram-se mais razoáveis, pois este possui uma precisão proporcional quadrática do tamanho do passo. Por essa razão, tem-se o Método de Euler como um método de primeira ordem, enquanto o Método dos Pontos Médios é dito como de segunda ordem.

Podemos extrapolar a tabela acima se precisamos de uma melhor precisão através da escolha de valores como $h=0,00001$ que, para chegar em $t=4$, necessitamos de 400.000 passos. Esse método demanda, portanto, um grande custo computacional; com isso, usam-se métodos com maior ordem de precisão, como o Método de Runge-Kutta, quando uma grande aproximação é necessária.

Método de Euler contra métodos de ordem maior

A ordem de um método mede o quão rapidamente este converge para a solução analítica quando se diminui os passos na integração numérica . Infelizmente devido a limitações computacionais, erros de arredondamento crescem quando se diminui o tamanho dos passos, ocorrendo até mesmo divergência ou mesmo valores errados. Uma forma de resolver este problema é aumentar a ordem do método numérico. Por exemplo, métodos de ordem maiores incluem método de Runge-Kutta e o método de Euler melhorado.

Ver também

• Para métodos numéricos para cálculo de integrais definidas, veja integração numérica.