Método de Ridder

Em análise numérica, o Método de Ridder é um algoritmo de localização de raiz baseado no método da posição falsa e no uso de uma função exponencial para aproximar sucessivamente a raiz de uma função contínua $f(x)$. O método é devido a C. Ridder.

O método de Ridder é mais simples do que o método de Muller ou o método de Brent, mas com desempenho semelhante. A fórmula abaixo converge quadraticamente quando a função é bem comportada, o que implica que o número de dígitos significativos adicionais encontrados em cada etapa aproximadamente dobra; mas a função deve ser avaliada duas vezes para cada etapa, então a ordem geral de convergência do método é ${\sqrt {2}}$. Se a função não for bem comportada, a raiz permanece entre colchetes e o comprimento do intervalo de colchetes pelo menos diminui pela metade em cada iteração, portanto, a convergência é garantida.

Método

Dados dois valores da variável independente, ${\ x_{0}}{}$ e ${\ x_{2}}{}$, que estão em dois lados diferentes da raiz procurada, ou seja, ${\ f(x_{0})f(x_{2})<0}{\ }$, o método começa avaliando a função no ponto médio ${\ x_{1}=(x_{0}+x_{2})/2}{\ {}{}_{}}$. Em seguida, encontra-se a função exponencial única ${\ e^{ax}}$ tal que a função ${\ h(x)=f(x)e^{ax}}$ satisfaz ${\ h(x_{1})=(h(x_{0})+h(x_{2}))/2}$. Especificamente, o parâmetro ${\ a}$ é determinado por

$e^{a(x_{1}-x_{0})}={\frac {f(x_{1})-sign[f(x_{0})]{\sqrt {f(x_{1})^{2}-f(x_{0})f(x_{2})}}}{f(x_{2})}}.$

O método da posição falsa é então aplicado aos pontos ${\ (x_{0},h(x_{0}))}$ e ${\ (x_{2},h(x_{2}))}$, levando a um novo valor ${\ x_{3}}$ entre ${\ x_{0}}$ e ${\ x_{2}}$,

${\ x_{3}=x_{1}+(x_{1}-x_{0}){\frac {sign[f(x_{0})]f(x_{1})}{\sqrt {f(x_{1})^{2}-f(x_{0})f(x_{2})}}},}$

que será usado como um dos dois valores de colchetes na próxima etapa da iteração.

O outro valor de colchetes é considerado ${\ x_{1}}$ se ${\ f(x_{1})f(x_{3})<0}$ (caso bem comportado), ou qualquer outro de ${\ x_{0}}$ e ${\ x_{2}}$ tem função valor do sinal oposto a ${\ f(x_{3})}$. O procedimento pode ser encerrado quando uma determinada precisão for obtida.