Modelo de viga de Timoshenko-Ehrenfest

O modelo de viga de Timoshenko-Ehrenfest foi desenvolvido por Stephen Timoshenko e Paul Ehrenfest[1][2][3] no início do século XX.[4][5] O modelo leva em consideração a deformação por cisalhamento e os efeitos rotacionais da flexão, tornando-o adequado para descrever o comportamento de vigas espessas, vigas compostas em sanduíche ou vigas sujeitas a excitação de alta frequência quando o comprimento de onda se aproxima da espessura da viga. Analogamente à teoria dos feixes de Euler-Bernoulli, a equação resultante é de 4ª ordem, mas uma derivada parcial de segunda ordem é presente. Fisicamente, os graus de liberdade extras no modelo reduzem a rigidez calculada para o corpo, resultando em maiores deflexões sob cargas estáticas e menores frequências naturais. O último efeito é mais perceptível para frequências mais altas à medida que o comprimento de onda se torna menor (em princípio comparável à altura do feixe ou menor) e, portanto, a distância entre as forças de cisalhamento opostas diminui.

O efeito da inércia rotativa foi primeiramente estudado por Bresse[6] e Rayleigh.[7]

Se o módulo de cisalhamento do material tende a infinito (material rígido ao cisalhamento, deformações cisalhantes tendem a zero) e se os efeitos da inércia rotacional são desprezíveis, o modelo de Timoshenko converge ao modelo de viga de Euler-Bernoulli.


Modelo quasistáticoEditar

 
Deformação de uma viga de Timoshenko (azul) comparada a uma viga de Euler-Bernoulli (vermelho).
 
Deformação de um raio de Timoshenko. O normal gira em uma quantidade   que não é igual a   .

No modelo estático de viga de Timoshenko sem efeitos axiais, os deslocamentos de cada ponto do corpo de coordenadas   são dados por:

 

onde   são as componentes do vetor de deslocamento,   é o ângulo de rotação da seção transversal da viga em relação à normal da curva neutra, e   é o deslocamento da curva neutra na direção  .

Com essas hipóteses, a deformação da viga é descrita por duas equações diferenciais ordinárias:

 

onde

  •   é a área da seção transversal;
  •   é o módulo de Young;
  •   é o módulo de cisalhamento;
  •   é o segundo momento de área;
  •  , chamado de coeficiente de Timoshenko, depende da geometria da viga;
  •   é a carga distribuída (força por comprimento).



Modelo dinâmicoEditar

No modelo dinâmico de viga de Timoshenko sem efeitos axiais, os deslocamentos de cada ponto do corpo de coordenadas   são dados por

 

onde   são as componentes do vetor de deslocamento,   é o ângulo de rotação da seção transversal da viga em relação à normal da curva neutra, e   é o deslocamento da curva neutra na direção  .

Partindo dessas hipóteses, o movimento da viga pode ser descrito pelas equações diferenciais parciais:[8]

 
 

onde

  •   é a densidade do material (mas não a densidade linear);
  •   é a área da seção transversal;
  •   é o módulo de Young;
  •   é o módulo de cisalhamento;
  •   é o segundo momento de área;
  •  , chamado de coeficiente de Timoshenko, depende da geometria da viga;
  •   é a carga distribuída (força por comprimento).

Referências

  1. Isaac Elishakoff, 2020. Who developed the so-called Timoshenko beam theory? Mathematics and Mechanics of Solids, 25(1), 97–116. https://doi.org/10.1177/1081286519856931
  2. Elishakoff,I.,2020, Handbook on Timoshenko-Ehrenfest Beam and Uflyand-Mindlin Plate Theories, World Scientific, Singapore, ISBN 978-981-3236-51-6
  3. Grigolyuk, E.I.,2002, S.P. Timoshenko: Life and Destiny, Moscow: Aviation Institute Press (in Russian)
  4. Timoshenko, S. P., 1921, On the correction factor for shear of the differential equation for transverse vibrations of bars of uniform cross-section, Philosophical Magazine, p. 744.
  5. Timoshenko, S. P., 1922, On the transverse vibrations of bars of uniform cross-section, Philosophical Magazine, p. 125.
  6. Bresse J.A.C.,1859, Cours de mécanique appliquée – Résistance des matériaux et stabilité des constructions, Paris, Gauthier-Villars(in French)
  7. Rayleigh Lord (J. W. S. Strutt),1877-1878, The Theory of Sound, London: Macmillan (see also Dover, New York, 1945)
  8. Timoshenko's Beam Equations