Modus tollens

Modus tollens (Latim: modo que nega por negação)[1] ou negação do consequente, é o nome formal para a prova indireta, também chamado de modo apagógico.

DescriçãoEditar

É um argumento comum, simples:

Se  , então  .
  é falso.
Logo,   é falso.

ou em notação de lógica:

 ,
¬  
  ¬  

onde   representa a asserção lógica.

ou em forma da teoria dos conjuntos:

 
 
 

("  é um subconjunto de  .   não pertence a  . Logo,   não pertence a  .")


Na forma de conjuntos podemos exemplificar da seguinte forma:

Digamos que existe um conjunto de alimentos que  ngordam.

Nesse conjunto existe:  astel,  rigadeiro e  erveja.  

Todos que comem Pastel ( ), então Engordam ( ). (  ),

Não Engordei. (¬  )

Logo não comi Pastel (   ¬  )

ExemplosEditar

O argumento tem duas premissas. A primeira premissa é a condição se-então, nomeadamente que   implica  . A segunda premissa é que   é falso. Dessas duas premissas pode-se concluir logicamente que   tem de ser falso. (Por que? Se   fosse verdadeiro, então   seria verdadeiro pela premissa 1, mas não é pela premissa 2).

Considere dois exemplos:

Se existe fogo aqui, então aqui também há oxigênio.
Não há oxigênio aqui.
Então aqui não há fogo.

Na lógica matemáticaEditar

A regra modus tollens pode ser vista como uma aplicação da regra modus ponens por contraposição.[2]

A contraposição diz-nos que  é equivalente a  , então com a regra modus ponens inferimos que  .

Essa regra está assim ligada a demonstrações por contraposição, ou ainda a demonstrações por contradição (reductio ad absurdum).[3]

Tabela de verdadeEditar

A tabela de verdade da implicação numa lógica binária (em que 1 = Verdade, 0 = Falso) demonstra a regra modus tollens em lógica binária.

Afirmar p ⇒ q significa que é verdade, ou seja:

(p ⇒ q) = 1

por outro lado, afirmar ¬ q significa que q é falso, ou seja:

q = 0

Portanto, basta olhar para a tabela da implicação:

 p   q  p ⇒ q (p ⇒ q)=1∧(q=0)
1 1 1 0
1 0 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1

Por hipótese, só interessam os casos em que q = 0 e (p ⇒ q) = 1, assim só a última linha é verdadeira.

Conclui-se que p = q = 0 em particular p = 0, ou o que é o mesmo (¬p) = 1.

Referências

  1. Stone, Jon R. (1996). Latin for the Illiterati: Exorcizing the Ghosts of a Dead Language (em inglês). Londres: Routledge. p. 60. ISBN 0-415-91775-1. Consultado em 13 de julho de 2017 
  2. Bajnok, Bela (2013). An Invitation to Abstract Mathematics] (em inglês). [S.l.]: Springer. p. 182. Consultado em 13 de julho de 2017 
  3. Bell, Jordan. «Modus Tollens» (em inglês). MathWorld. Consultado em 13 de julho de 2017 

Ver tambémEditar