Parte imaginária

Em Matemática, a parte imaginária é o segundo elemento do par ordenado de números reais que representam um número complexo. Um número complexo pode ser escrito na forma: $a+bi$ , onde "$a$" é o coeficiente da parte real, "$b$" é o coeficiente da parte imaginária e "$i$" é a unidade imaginária, cuja principal propriedade é $i={\sqrt {-1}}$ . Um número cuja parte imaginária ("$b$") seja $0\,\!$ é chamado de número real e um número cuja parte real ("$a$") seja $0\,\!$ é chamado de número imaginário puro ou ainda puramente imaginário.

Notação/Representação

A notação para a parte imaginária de um número complexo não é universal. Porém, é comum o uso de $\operatorname {Im} (z)\,\!$ ou ${\mathfrak {I}}(z)\,\!$ , sendo $z$ um número genérico, para representá-la.

Podemos representar a parte imaginária de um complexo $z\,\!$ de diversas maneiras:

• Forma Retangular:
  • Dado $z=a+bi\,\!$ , temos a parte imaginária ${\mathfrak {I}}(z)=bi$;
• Forma Trigonométrica:
  • Dado $z=|z|(cos\theta +isen\theta )$ , temos a parte imaginária ${\mathfrak {I}}(z)=|z|(isen\theta )$;
• Forma Polar:
  • Dado $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ , temos a parte imaginária ${\mathfrak {I}}(z)=ri\sin \theta$;
• Forma Exponencial:
  • Dado $z=re^{i\theta }\,\!$, a parte imaginária não pode ser obtida diretamente. Por conta disso, utiliza-se a propriedade $e^{i\theta }\,\!=(cos\theta +isen\theta )$ , trazendo-nos de volta a um caso anterior, a Forma Trigonométrica.
• Recorrendo ao conjugado de um número complexo, podemos calcular ${\mathfrak {I}}(z)={\frac {z-{\overline {z}}}{2i}}$.
• Através da notação de um plano complexo, método de representação gráfico, é possível identificar suas componentes real e imaginária e até calcular seu módulo ($z$).
  • $z$ pode ser calculado pela aplicação do Teorema de Pitágoras no plano complexo, isto é, $||z||={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.

Plano Complexo mostrando a (coeficiente real), b (coeficiente imaginário e z (numero descrito)

Aplicações

Há uma vasta área de aplicação para este tipo de números. Dentre eles se destacam:

• Matemática:
  • É utilizado na análise complexa, álgebra linear complexa, com aplicações em resolução de equações algébricas e equações diferenciais com raízes complexas, geometria fractal e até outros;
  • Um caso bem específico dentro da matemática é a Transformada de Fourier, onde é utilizada a sua definição em Forma Exponencial; ${\mathcal {F}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt$
• Física:
  • Utilizada na Física Quântica, também chamada de Mecânica Quântica;
  • Teoria do Caos, dentro da Mecânica Clássica;
  • Eletromagnetismo;
  • Teoria do Buraco Negro, tempo imaginário;
• Engenharia:
  • Elétrica:
    • Utiliza-se em resolução de circuitos, tais como RLC, em cálculos de impedância, fase; em circuitos resistivos com corrente alternada;
  • Controle e Automação:
    • Utiliza-se em cálculos de vazão de válvulas controladas eletricamente;

Ver também

• Números Complexos
• Números Reais

Referências

http://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/NC2.pdf