Polinômios de Hermite

Os polinômios de Hermite são um exemplo de polinômios ortogonais cujo principal campo de aplicação encontra-se na mecânica quântica, especialmente no estudo do oscilador harmônico unidimensional. São nomeados assim em homenagem a Charles Hermite.

Os cinco primeiros polinômios de Hermite (probabilísticos).

DefiniçãoEditar

Os polinômios de Hermite ("polinômios de Hermite probabilísticos") são definidos por:

 

Ou, às vezes, por ("polinômios de Hermite físicos")

 

Essas definições não são exatamente equivalentes: uma é o redimensionamento da outra:

 .

Os polinômios físicos podem ser escritos como:

 

PropriedadesEditar

OrtogonalidadeEditar

Hn(x) é um polinômio de grau n, com n = 0, 1, 2, 3 ... . Esses polinômios são ortogonais com relação à função peso

  (probabilidade)

ou

  (física)

ou seja,

 

ou

  (física)

onde δij é o delta de Kronecker, que é igual à unidade quando n = m e nulo no caso contrário. Os polinômios probabilísiticos são ortogonais em relação à função densidade de probabilidade normal.

Função geradoraEditar

 

Fórmulas de recorrênciaEditar

Os polinômios de Hermite (na forma "física") satisfazem as seguintes relações de recorrência:

 
 

Decomposição numa série de funçõesEditar

Qualquer função f contínua pode ser expressa como uma série infinita em termos dos polinômios de Hermite:

 

Onde as constantes são dadas por:

 

Outras propriedadesEditar

 
 
 

Equação diferencial de HermiteEditar

Os polinômios de Hermite são soluções da equação diferencial de Hermite:[1]

 

Que na forma canônica pode ser escrita como:

 

ReferênciaEditar

  1. Spiegel & Abellanas, 1992, p.158.
  • Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo. McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid): [s.n.] ISBN 84-7615-197-7