Programa Langlands

O programa Langlands é uma teia de conjecturas de longo alcance e influentes que se relacionam com os grupos de Galois, na teoria dos números algébricos, para formas automórficas e com a teoria de representação de grupos algébricos, mais campos locais e adeles. Foi proposto por Robert Langlands (1967-1970).

AntecedentesEditar

Em um contexto muito amplo, o programa construiu em ideias existentes: a filosofia de cúspide formulada alguns anos antes por Harish-Chandra e Gelfand (1963), o trabalho e a abordagem de Harish-Chandra em Grupos de Lie semi-simples, em termos técnicos a fórmula de rastreio de Selberg e outros. O que inicialmente era muito novo no trabalho Langlands, além de profundidade técnica, foi a conexão proposta direta à teoria dos números, juntamente com a estrutura organizacional rica hipótese (chamado funtorialidade). Por exemplo, na obra de Harish-Chandra encontra-se no princípio de que o que pode ser feito por uma semi-simples (ou redutora) grupo de Lie, deve ser feita para todos. Por conseguinte, uma vez o papel de alguns grupos de baixa dimensão de Lie como GL (2), na teoria das formas modulares tinha sido reconhecida, e em retrospectiva GL (1) na teoria do campo de classe, o modo foi aberto, pelo menos, à especulação sobre GL (n) para geral n> 2. A ideia formulário cúspide saiu das cúspides em curvas modulares, mas também tinha um significado visível na teoria espectral como "espectro discreto", em contraste com o "espectro contínuo" da série de Eisenstein. Torna-se muito mais técnico para maiores grupos de Lie, porque os subgrupos parabólicos são mais numerosos. Em todas essas abordagens não havia escassez de métodos técnicos, muitas vezes indutivos na natureza e com base em decomposições Levi, entre outros assuntos, mas o campo era e é muito exigente[1]. E, do lado das formas modulares, existiam exemplos como formas modulares de Hilbert, formas modulares de Siegel e série teta.

ObjetosEditar

Existe uma série de conjecturas relacionadas à Langlands. Há muitos grupos de permutações diferentes ao longo de muitos campos numéricos para que eles possam ser declarados como numéricos em formação, e para cada campo "K" algébrico existem várias versões diferentes de conexão das conjecturas[2]​​. Algumas versões das conjecturas relacionadas à Langlands são vagas ou dependem de objetos tais como os grupos Langlands, cuja existência não provada em ou no grupo L- tem várias definições não equivalentes. Além disso, as conjecturas Langlands evoluíram desde que Langlands afirmou-os primeiro em 1967. Existem diferentes tipos de objetos para os quais as conjecturas Langlands podem ser indicados:

  • Representações de [grupos redutores][3].
  • Mais campos locais (com subcasos diferentes, correspondentes a campos locais de arquimedes, campos p-adicos, locais e conclusões de campos de função).
  • Formas automórficas em grupos redutivos mais campos globais (com subcasos correspondentes aos campos de número ou campos de função).
  • Campos finitos. Langlands originalmente não considerou este caso, mas suas conjecturas tem análogas para ele.
  • Campos mais gerais, tais como campos de função sobre os números complexos.


Notas

  1. "SIEGEL PARAMODULAR FORMS OF WEIGHT 2 AND SQUAREFREE LEVEL".*CRIS POOR*JERRY SHURMAN* DAVID S. YUEN* https://arxiv.org/pdf/1612.00925.pdf
  2. "LECTURES ON THE LANGLANDS PROGRAM AND CONFORMAL FIELD THEORY" ∗Edward Frenkel∗.arXiv:hep-th/0512172v1 15 Dec 2005
  3. "FIELD REDUCTION AND LINEAR SETS IN INFINITE GEOMETRY"∗ Michel Lavrauw ∗ Geertrui Van de Voorde ∗ .arxiv.org/pdf/1310.8522.pdf"