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Em física, uma quantização é um procedimento matemático que atribui um valor específico a um sistema físico; assim contrariando a ideia de que determinadas unidades, como energia e carga elétrica, eram continuas.

Índice

Definição formalEditar

Concretamente dada a descrição hamiltoniana de um sistema clássico mediante uma variedade simplética   pode ser definida[1] formalmente o processo de quantização como a construção de um espaço de Hilbert   tal que ao conjunto de magnitudes físicas ou observáveis medíveis no sistema clássico   se assinala um conjunto de observáveis quânticos ou operadores auto-adjuntos   tais que:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5. Os operadores de posição   e seus momentos conjugados   atuam irreduzivelmente sobre  .

Onde   é a aplicação identidade sobre o espaço de Hilbert assinado ao sistema,   é o parênteses de Poisson e   é o comutador de operadores.

Pelo teorema de Stone-von Neumann a condição (5) implica que os graus de libertade de deslocamento nos obrigam a tomar   e um operador é multiplicativo e outro derivativo. Assim usam-se a representação em forma de função de onda em termos das coordenadas espaciais:

 


Usa-se a representação em forma de função de onda em termos das coordenadas de momento conjugado:

 


Sistemas quantizáveisEditar

Um sistema hamiltoniano clássico definido sobre uma variedade simplética   se chama quantizável se existe um  -fibrado principal   e uma 1-forma   sobre  , chamada variedade de quantização, tal que:

  1.   é invariante sob a ação de  
  2.  

Um resultado recolhido em Steenrod 1951 implica que uma variedade é quantizável se a segunda classe de co-homologia satisfaz certa propriedade:

  é quantizável se e somente se  ,

ou seja, a integral da forma simplética integrada sobre uma variedade compacta de dimensão 2 é um número inteiro multiplicado pela constante de Planck. É mais naqueles casos em que existe mais de um modo de quantizar um sistema clássico, as diferentes quantizações podem classificar-se de acordo com a forma de  

Primeira quantizaçãoEditar

Os procedimentos de primeira quantização são métodos que permitem construir modelos de uma partícula dentro da mecânica quântica a partir da correspondente descrição clássica do espaço de fases de uma partícula.

  • A quantização canônica, é um procedimento informal que assinala a magnitude física expressável em termos das coordenadas canônicas do sistema clássico, um operador obtido por substituição direta das variáveis canônicas por operadores hermíticos Pi e Qi que satisfazem as relações [Qi,Pi] = ih/2π, [Qi,Qj] = 0, [Pi,Pj] = 0 e [Qi,Pj] = 0.
  • A quantização de Weyl, é um procedimento para construir um operador hermítico sobre o espaço   para um sistema cujo espaço de fases clássico tenha uma topologia  . Esta técnica foi descrita pela primeira vez por Hermann Weyl em 1927.

Segunda quantizaçãoEditar

 Ver artigo principal: Segunda quantização

Os procedimentos de segunda quantização são métodos para construir teorias quânticas de campos a partir de uma teoria clássica de campos.

  • Quantização canônica, é uma extensão do procedimento de quantização canônica empregado na primeira quantização mas estendido neste caso a mais de uma partícula.
  • Quantização canônica covariante.
  • Quantização mediante integrais de caminho, proposto por Feynmann e Kac que depende de construir uma medida cotada em um espaço de Hilbert a partir do funcional de ação.
  • Quantização geométrica.
  • Aproximação variacional de Schwinger.

ReferênciasEditar

  1. Abraham & Marsden, 1985.

BibliografiaEditar

  • Abraham, R. & Marsden (1985): Foundations of Mechanics, ed. Addison-Wesley, ISBN 0-8053-0102-X.
  • M. Peskin, D. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory (Westview Press, 1995) [ISBN 0-201-50397-2]
  • Weinberg, Steven, The Quantum Theory of Fields (3 volumes)
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