Relação Faber-Jackson

Introdução

Imagem 1 - A relação Faber-Jackson expressa uma relação entre a velocidade de dispersão e a luminosidade de galáxias elípticas.

Usando observações de galáxias espirais, em 1977, R. Brent Tully e J. Richard Fisher descobriram que a velocidade máxima de rotação das espirais está intimamente relacionada à sua luminosidade, seguindo a relação

$L\propto v_{max}^{\alpha }$

onde a inclinação da relação Tully-Fisher é sobre α ∼ 4. Uma relação para galáxias elípticas análoga ao Tully- Fisher foi encontrada por Sandra Faber e Roger Jackson: a relação Faber-Jackson pode ser usada para estimar a distância de uma galáxia a partir de sua dispersão de velocidade medida.

$L\propto v_{0}^{4}$ ou $\log(\sigma _{0})=-0.1M_{B}+const$

Também podemos derivar a relação de Faber-Jackson tal como a de Tully-Fisher. Entretanto, como é possível perceber na Imagem 1, ao contrário das espirais com a Relação de Tully-Fisher, existe uma grande dispersão de elípticas na de Faber-Jackson.

Galáxias elípticas

Conforme o nome já diz, as galáxias elípticas são aquelas cujo formato é arredondado, algumas de formato oblato, como uma abóbora, e outras têm forma triaxial com três eixos desiguais, como uma bola de futebol americano. Elas abrangem uma gama bem grande (mais de 106) em luminosidade e massa, como é mostrado pela compilação na Tabela 1. O termo geral “galáxias elípticas” (ou elípticas) cobre uma ampla classe de galáxias que diferem em suas luminosidades e tamanhos. Uma subdivisão aproximada é a seguinte:

• Elípticas normais - Esta classe inclui elípticas gigantes (gE's), de luminosidade intermediária (E's), e elípticas compactas (cE's), cobrindo uma gama de magnitudes absolutas de $M_{B}$ ∼ −23 a $M_{B}$ ∼ −15.

• Elípticas anãs (dE's) - A diferença entre esse tipo dos cE's é que sua superfície tem significativamente menor brilho e uma menor metalicidade.

• Galáxias cD - Estas galáxias são extremamente luminosas (até $M_{B}$ ∼ −25) e grandes (até R $\lesssim$ 1 Mpc), tendo uma relação M / L muito alta.

• Galáxias anãs compactas azuis - Estas “compactas anãs azuis” (BCD's) são galáxias visivelmente mais azuladas (com $\langle B-V\rangle$ entre 0,0 e 0,3) do que as outras, contendo uma grande quantidade de gás.

• Esferoidais anãs (dSph’s) - possuem tanto luminosidade quanto brilho superficial muito baixos, com valores observados de até $M_{B}$ ∼ −8.

Tabela 1 - Valores característicos para galáxias elípticas. Fonte: Schneider, Peter. Extragalactic Astronomy and Cosmology: An Introduction. Springer, 2006.

	s0	cD	E	dE	dSph	BCD
$M_{B}$	-17 a -22	-22 a -25	-15 a -23	-13 a -19	-8 a -15	-14 a -17
$M(M\odot )$	$10^{10}$ a $10^{12}$	$10^{13}$ a $10^{14}$	$10^{8}$ a $10^{13}$	$10^{7}$ a $10^{9}$	$10^{7}$ a $10^{8}$	~$10^{9}$
$D_{25}(kpc)$	10-100	300-1000	1-200	1-10	0.1-0.5	<3
$\langle M/L_{B}\rangle$	~10	>100	10-100	1-10	5-100	0.1-10
$\langle S_{N}\rangle$	~5	~15	~5	4.8$\pm$1.0	-	-

Teoria

A Energia de Ligação Gravitacional (do inglês Gravitational Binding Energy, ou GBE) de um sistema com raio $R$ e massa $M$

$U=-\alpha {\frac {GM^{2}}{R}}$

onde $G$ é a Constante Gravitacional Universal que tem como valor 6,67408 × 10^-11 m³ kg^-1 s^-2, e $\alpha$ é uma constante dependente da galáxia elíptica. Para uma densidade constante,

$\alpha ={\frac {3}{5}}$.

A energia cinética é dada pela expressão:

$K={\frac {1}{2}}MV^{2}={\frac {3}{2}}M\sigma ^{2}$

Pelo Teorema do Virial ($2K+U=0$):

$\sigma ^{2}={\frac {1}{5}}{\frac {GM}{R}}$

Assumindo que $M/L$ é constante, ou seja, que a relação massa/luz não varia, é possível obter a seguinte expressão:

$R\propto {\frac {LG}{\sigma ^{2}}}$

Introduzindo o brilho da superfície $B=L/(4\pi R^{2})$ e assumindo que esta é uma constante, é possível obter:

$L=4\pi R^{2}B$

Sabendo-se disso e relacionando $L$ e $R$ o resultado se torna:

$L\propto 4\pi \left({\frac {LG}{\sigma ^{2}}}\right)B$

Finalmente, reescrevendo a expressão acima, é possível obter a relação entre a dispersão de velocidade e a luminosidade:

$L\propto 4\pi \left({\frac {\sigma ^{4}}{4\pi G^{2}B}}\right)$

ou seja

$L\propto \sigma ^{4}$

Referências

1. Schneider, Peter. Extragalactic Astronomy and Cosmology: An Introduction. Springer, 2006.
2. L.S. Sparke & J.S. Gallagher: Galaxies in the Universe: An Introduction, Cambridge University Press, Cambridge, 2000, [1]
3. Minkowski, R. (1962), Internal Dispersion of Velocities in Other Galaxies [2]
4. Davies, R. L.; Efstathiou, G.; Fall, S. M.; Illingworth, G.; Schechter, P. L. (1983), The kinematic properties of faint elliptical galaxies [3]