Semelhança de triângulos

Semelhança de triângulos é um tipo de relação que é estabelecida entre triângulos quando eles possuem os lados proporcionais e os ângulos congruentes.[1]

DefiniçãoEditar

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.[2]

Sendo que dois lados homólogos (homo=mesmo, logos=lugar) são tais que cada um deles está em um dos triângulos e ambos são opostos a ângulos congruentes.

 

Razão de semelhançaEditar

Sendo   a razão de semelhança entre os lados homólogos, temos:

 .

Então chamamos   de razão de semelhança entre dois triângulos.

Observe também que, se  , os triângulos são congruentes.

PropriedadesEditar

Da definição de triângulos semelhantes decorrem as seguintes propriedades:

  • Reflexiva: todo triângulo é semelhante a si mesmo.

 

  • Simétrica: se um triângulo é semelhante a outro, esse outro é semelhante ao primeiro.

 

  • Transitiva: se um triângulo é semelhante a outro, que por sua vez é semelhante a um terceiro triângulo, temos que o primeiro e o terceiro triângulo também são semelhantes.

 

Teorema FundamentalEditar

Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.

 
 

Para demonstrar que dois triângulos são semelhantes é, conforme a definição, necessário demonstrar que eles têm ângulos ordenadamente congruentes e lados homólogos proporcionais.

Portanto, essa demonstração será divida em duas partes, para demonstrar a relação entre os ângulos e os lados.

1° Parte: Ângulos congruentesEditar

Tem-se, por hipótese que  .

Assim percebe-se que, pelo postulado das paralelas, temos:

  e  , pois são ângulos correspondentes.

O ângulo   é comum aos dois triângulos.

Logo os dois triângulos possuem ângulos ordenadamente congruentes.

2° Parte: Lados homólogos proporcionaisEditar

Por se tratar de um par de paralelas cortadas por duas transversais, é possível utilizar o teorema de Tales.

Fazendo isso, pode-se observar a relação:

 

É possível construir uma paralela a   que passe por  .

Assim, essa paralela interceptará   em um ponto  .

Essa construção garante que:  

Logo o quadrilátero   é um paralelogramo.

Sendo assim:   e   .

Utilizando mais uma vez o teorema de Tales (dessa vez com   e   sendo paralelas e   e   transversais) obtêm-se:

 

Como  , pode-se escrever:

 

Logo:

 

E então têm-se que os lados homólogos são proporcionais.

Como os dois triângulos têm os ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes, por definição.

Logo, se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.

Casos ou critérios de semelhançaEditar

1° CasoEditar

Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes.

DemonstraçãoEditar

Queremos demonstrar que, para dois triângulos   e  , vale:

 

Para demonstrar isso, é útil supor, sem perda de generalidade, que os triângulos não são congruentes e que  

Seja   um ponto de   tal que   e seja o triângulo   com   e   no lado  .

Assim, é possível observar a seguinte congruência entre triângulos:

 

Observe que, como   (por hipótese) e   (por construção), tem-se que  , o que implica  .

Conforme o teorema fundamental da semelhança, demonstrado acima, temos que   implica  .

Visto que  , vale que  .

Logo, para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que dois de seus ângulos sejam ordenadamente congruentes.

2° CasoEditar

Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidos são congruentes, então os dois triângulos são semelhantes.

A demonstração desse caso é análoga a do 1° caso, porém se utiliza de outro caso de congruência.

3° CasoEditar

Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes.

A demonstração desse caso é análoga à demonstração dos dois casos anteriores, porém utiliza outro caso de congruência.

Propriedades notáveisEditar

Seja dois triângulos semelhantes nos quais a razão de semelhança é  , vale:[2]

  • a razão entre os perímetros é  ;
  • a razão entre as alturas homólogas é  ;
  • a razão entre as medianas homólogas é  ;
  • a razão entre as bissetrizes internas homólogas é  ;
  • a razão entre os raios dos círculos inscritos é  ;
  • a razão entre os raios dos círculos circunscritos é  .

Ou seja, a razão entre dois elementos lineares homólogos é  .

Quanto à áreas temos os seguintes resultados: a razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é  

DemonstraçõesEditar

Demonstrações das propriedades anteriores.

Razão entre os perímetrosEditar

 
Triângulos semelhantes

Se dois triângulos são semelhantes de razão  , então a razão entre os perímetros também é  .

Assim, seja os triângulos   e  , temos:

 .

Para essa demonstração é útil escrever essas relações da seguinte forma:  

Visto que o perímetro é a soma da medida de todos os lados, tem-se:

  (perímetro de  )

  (perímetro de  )

Assim, tem-se que a razão entre os perímetros é:

 

Logo a razão entre os perímetros de dois triângulos semelhantes é igual à razão entre os triângulos.

Razão entre as alturasEditar

 
Imagem para demonstração

Se dois triângulos são semelhantes de razão  , então a razão entre as alturas também é  .

Por hipótese, tem-se:

 

Seja o segmento   altura relativa ao vértice   em   e o segmento   altura relativa ao vértice   em  , tem-se:

 

Como   e  , temos que  .

Dessa semelhança, obtêm-se:

 

Como  ,   e  , pode-se escrever:

 .

Logo a razão entre as medidas das alturas de dois triângulos semelhantes é igual à razão de semelhança entre os triângulos.

Razão entre as áreasEditar

Se dois triângulos são semelhantes de razão  , então a razão entre as áreas é  .

Assim, seja os triângulos   e  , temos:

 
Imagem para demonstração da razão entre as áreas de triângulos semelhantes

 

Sendo   a medida da altura relativa ao lado   de   e   a medida da altura relativa ao lado   de  , temos também que:

 .

Observe também que   e  .

Então, é possível calcular a razão entre a área dos triângulos:

 

Logo a razão entre as medidas das áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os triângulos.

  1. «Semelhança de triângulos - Brasil Escola». Brasil Escola. Consultado em 4 de dezembro de 2016 
  2. a b Dolce, Osvaldo (2013). Fundamentos de matemática elementar 9: Geometria plana. São Paulo: Atual