Serie discreta regressiva de Fourier

Na matemática aplicada, a série regressiva discreta de Fourier (RDFS) é uma generalização da transformada discreta de Fourier, onde os coeficientes da série de Fourier são calculados em um sentido de mínimos quadrados e o período é arbitrário, ou seja, não necessariamente igual ao comprimento dos dados. Foi proposto pela primeira vez por Arruda (1992a, 1992b). Ele pode ser usado para suavizar dados em uma ou mais dimensões e calcular derivados da curva suavizada, superfície ou hipersuperfície .

Técnica

Série de Fourier regressiva unidimensional regressiva (RDFS)

O RDFS unidimensional proposto por Arruda (1992a) pode ser formulado de forma bastante direta. Dado um vetor de dados amostrados ( sinal ) $x_{n}=x(t_{n})$, pode-se escrever a expressão algébrica:

$x_{n}=\sum _{k=-q}^{q}X_{k}e^{\frac {-i2\pi kt_{n}}{T}}+\varepsilon _{n},t_{n}{\text{ arbitrary }},\quad n=1,\dots ,N.\,$

Tipicamente $t_{n}=n\,\Delta t$, mas isso não é necessário.

A equação acima pode ser escrita em forma de matriz como

$WX=x+\varepsilon .\,$

A solução de mínimos quadrados do sistema linear de equações acima pode ser escrita como:

${\hat {X}}=(W^{H}W)^{-1}W^{H}x\,$

Onde $X^{H}$ é a transposta conjugada de $X$, e o sinal suavizado é obtido de:

${\hat {x}}=W{\hat {X}}\,$

A primeira derivada do sinal suavizado ${\hat {x}}$ pode ser obtido em:

${\frac {dx}{dt}}(t_{n})=\sum _{k=-q}^{q}{\frac {-i2\pi k}{T}}X_{k}e^{\frac {-i2\pi kt_{n}}{T}},\quad n=1,\dots ,N.\,$

Série de Fourier regressiva bidimensional regressiva (RDFS)

O RDFS bidimensional ou bidimensional proposto por Arruda (1992b) também pode ser formulado de maneira direta. Aqui, o caso de dados igualmente espaçados será tratado por uma questão de simplicidade. Os casos gerais de grade não igualmente espaçadas e arbitrárias são dados na referência (Arruda, 1992b). Dada uma matriz de dados amostrados ( sinal bidimensional) $x_{mn}=x(\xi _{m},\nu _{n}),m=1,\dots ,M;\ n=1,\dots ,N;$ pode-se escrever a expressão algébrica:

$x_{mn}=\sum _{k=-p}^{p}\sum _{l=-q}^{q}X_{kl}e^{\frac {-i2\pi k\xi _{m}}{L_{\xi }}}e^{\frac {-i2\pi l\nu _{n}}{L_{\nu }}}+\varepsilon _{mn},\quad m=1,\dots ,M;\ n=1,\dots ,N.\,$

A equação acima pode ser escrita em forma de matriz para uma grade retangular. Para o caso de amostragem igualmente espaçado : $\xi _{m}=m\Delta \xi ,\nu _{n}=n\Delta \nu \,$ temos:

$x_{mn}=\sum _{k=-p}^{p}\sum _{l=-q}^{q}X_{kl}e^{\frac {-i2\pi k\xi _{m}}{L_{\xi }}}e^{\frac {-i2\pi l\nu _{n}}{L_{\nu }}}+\epsilon _{mn},\quad m=1,\dots ,M;\ n=1,\dots ,N.\,$

A solução dos mínimos quadrados pode ser mostrada como:

${\hat {X}}=(W_{L_{\xi }}^{H}W_{L_{\xi }})^{-1}W_{L_{\xi }}^{H}xW_{L_{\nu }}^{*}(W_{L_{\nu }}W_{L_{\nu }}^{H})^{-1}\,$

e a superfície bidimensional suavizada é dada por:

${\hat {x}}=W_{L_{\xi }}{\hat {X}}W_{L_{\nu }}^{t}\,$

Onde $X^{H}$ é o conjugado, e $X^{t}$ é a transposição de $X$ .

Diferenciação em relação a $\xi {\text{ and }}\nu$ pode ser facilmente implementado de forma análoga ao caso unidimensional (Arruda, 1992b).

Aplicações

• Aplicações de condensação de dados espacialmente densos : Arruda, JRF [1993] aplicou o RDFS para condensar medições espaciais espacialmente densas feitas com um vibrômetro Doppler a laser antes de aplicar métodos de estimativa de parâmetros de análise modal . Mais recentemente, Vanherzeele et al. (2006,2008a) propôs um RDFS generalizado e um RDFS otimizado para o mesmo tipo de aplicação. Uma revisão do processamento de medição óptica usando o RDFS foi publicada por Vanherzeele et al. (2009).
• Aplicações de derivados espaciais : Batista et al. [2009] aplicaram RDFS para obter derivados espaciais de dados de vibração bidimensionais medidos para identificar propriedades de materiais de modos transversais de placas retangulares.
• Aplicações SHM : Vanherzeele et al. [2009] aplicaram uma versão generalizada do RDFS à reconstrução tomográfica .

Programas

Recentemente, um pacote que inclui RDFS unidimensional e bidimensional foi desenvolvido para facilitar seu uso no software livre e de código aberto R:

• Pacote AR para RDFS no Github

Veja também

• Transformada discreta de Fourier
• Séries de Fourier

Referências

• Arruda, JRF, 1992a: Análise de dados não igualmente espaçados usando uma série discreta Regressiva de Fourier. Journal of Sound and Vibration, 156 (3), 571–574.
• Arruda, JRF, 1992b: Suavização de superfície e derivadas espaciais parciais usando uma série discreta de Fourier regressiva. Mechanical Systems and Signal Processing, 6 (1), 41–50.
• Arruda, JRF, 1993: Análise modal de domínio espacial de estruturas levemente amortecidas usando velocímetros de laser. Journal of Vibration and Acoustics, 115, 225-231.
• Batista, FB, Albuquerque, EL, Arruda, JRF, Dias Jr., M., 2009: Identificação da rigidez à flexão de laminados simétricos usando séries discretas de Fourier regressivas e diferenças finitas. Journal of Sound and Vibration, 320, 793–807.
• Vanherzeele, J., Guillaume, P., Vanlanduit, S., Verboten, P., 2006: Redução de dados usando uma série discreta de Fourier regressiva generalizada, Journal of Sound and Vibration, 298, 1-11.
• Vanherzeele, J., Vanlanduit, S., Guillaume, P., 2008a: Reduzindo dados espaciais usando uma série de Fourier discreta regressiva otimizada, Journal of Sound and Vibration, 309, 858-867.
• Vanherzeele, J., Longo, R., Vanlanduit, S., Guillaume, P., 2008b: Tomografia reconstrução utilizando um generalizadas séries de Fourier discretos regressivas, sistemas mecânicos e Processamento de Sinal, 22, 1237 – 1247.
• Vanherzeele, J., Vanlanduit, S., Guillaume, P., 2009: Processamento de medidas ópticas usando uma série discreta de Fourier regressiva, Optical and lasers in engineering, 47, 461-472.