Soma de Borel

Em matemática, uma soma de Borel é uma generalização da noção comum de soma de uma série. Em particular, provê uma definição de uma quantidade que em numerosos aspectos comporta-se formalmente como uma soma, ainda no caso de que a série seja divergente.

Definição

Seja

$y=\sum _{k=0}^{\infty }y_{k}z^{-k}$

uma série de potência formal em $z$.

Define-se a transformada de Borel ${\mathcal {B}}y$ de $y$ mediante

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y_{k}}{(k-1)!}}t^{k-1}.$

Supondo que

1. ${\mathcal {B}}y$ tem um radio de convergência não nulo como função de $t$
2. ${\mathcal {B}}y$ pode ser continuada em forma analítica a uma função ${\hat {y}}(t)$ sobre toda a reta real positiva
3. ${\hat {y}}(t)$ como cresce muito em forma exponencial ao longo da reta real

Então, a soma de Borel de $y$ está dada pela transformada de Laplace de ${\hat {y}}(t)$. A existência desta função está garantida pela condição (3) indicada anteriormente.

Discussão

A soma de Borel de uma série é a transformada de Laplace da soma das anti-transformadas de Laplace termo a termo da série original. Se a transformada de Laplace de uma série infinita for igual à soma da transformada de Laplace termo a termo então, a soma de Borel seria igual à soma comum. A soma de Borel é definida em muitas situações nas que a soma não está definida. Expressando-o em termos planos, permite dar-lhe um significado à 'soma' de certo tipo de séries divergentes. A suma de Borel é um exemplo de um método de momento constante para somar séries.