Teorema das três perpendiculares

Demonstração geométrica do teorema das três perpendiculares

De acordo com o teorema das três perpendiculares: se são dados, no espaço, o plano e as retas e , com perpendicular a em e contida em . Se pertence a e pertence a , então é perpendicular a se, e somente se, é perpendicular a .[1]

DemonstraçãoEditar

Proposição I[2]

Dados uma reta   e um plano  , temos   se, e só se,   for ortogonal a duas retas concorrentes de  .

Note que:

 

Suponha, agora que  . Então, uma vez que   e   são concorrentes, segue da proposição I que  ; em particular,  . Reciprocamente, suponha que  . Como   e   são concorrentes, segue novamente da proposição I que  ; em particular,  .

Obs:   representa o plano que contém as retas   e  .

Enunciando o teorema de outra formaEditar

“A reta   é perpendicular ao plano   no ponto  . A reta   está contida em   e não passa por  . O ponto   da reta   é tal que   é perpendicular a  . Então, se   é qualquer ponto de  ,   é perpendicular a  .

Uma demonstração utilizando apenas o teorema de PitágorasEditar

Pelo enunciado os triângulos  ,   e   são todos retângulos e afirma que o   também é retângulo.

Sendo assim devemos provar a afirmação. Temos:

  (I)
  ou   (II)
  (III)

Substituindo II e III em I, temos:

 , logo:
 , provando assim que o   também é retângulo.

AplicaçãoEditar

Na pirâmide da figura, a base é um quadrado de área   e   é sua altura que mede   e está apoiada no vértice  . A área do triângulo   desta pirâmide pode ser obtida da seguinte forma:

Como a base é um quadrado os lados medem  , sendo   a altura e a base um quadrado temos que   e  . Logo, pelo teorema das três perpendiculares   e consequentemente   é retângulo e como   é altura o   também é retângulo.

 

 

 

Ver tambémEditar

Referências

  1. Antonio Caminha Muniz Neto (2013). Geometria (Coleção Profmat). [S.l.]: SBM. 305 páginas 
  2. Antonio Caminha Muniz Neto (2013). Geometria (Coleção Profmat). [S.l.]: SBM. 306 páginas