Teorema de Birkhoff (relatividade)
Em relatividade geral, o teorema de Birkhoff estabelece que qualquer solução esfericamente simétrica das equações de campo do vácuo deve ser estática e assintoticamente plana. Isto significa que a solução exterior deve ser dada pela métrica de Schwarzschild.
O teorema foi provado em 1923 por George David Birkhoff (também autor de um outro teorema de Birkhoff mais conhecido, o teorema pointwise ergodic o qual lança a fundação da teoria ergódica). Entretanto, Stanley Deser recentemente alertou que ele foi publicado dois anos antes por um físico norueguês pouco conhecido, Jørg Tofte Jebsen.
Raciocínio intuitivo
editarA ideia intuitiva do teorema de Birkhoff é que a simetria esférica de um campo gravitacional deve ser produzida por algum objeto massivo na sua origem; se há outra concentração de massa-energia em algum lugar além, esta deve perturbar a simetria esférica, então nós podemos esperar a solução representar um objeto isolado. Isto é, o campo desapareceria em grandes distâncias, o que é (parcialmente) o que nós pretendemos ao afirmar que a solução é assintoticamente plana. Estão, esta parte do teorema é só o que nós esperamos do fato que a relatividade geral reduz-se a gravitação newtoniana no limite newtoniano.
Implicações
editarA conclusão que o campo exterior deve também ser estacionário é mais surpreendente e tem uma interessante consequência. Suponha-se que nós tenhamos uma estrela esfericamente simétrica de massa fixa a qual está experimentando pulsações esféricas. Então o teorema de Birkhoff diz que a geometria exterior deve ser a de Schwarzschild; o único efeito da pulsação é a mudança da localização da superfície estelar. Isto significa que uma estrela pulsante esfericamente não pode emitir ondas gravitacionais.
Outra interessante consequência do teorema de Birkhoff é que para uma casca fina, a solução interior deve ser dada pela métrica de Minkowski; em outras palavras, o campo gravitacional deve desaparecer dentros de uma casca esfericamente simétrica. Isto concorda com o o que acontece na gravitação newtoniana.
Generalizações
editarO teorema de Birkhoff pode ser generalizado: qualquer solução esfericamente simétrica das equações de campo de Einstein-Maxwell deve ser estacionária e assintoticamente plana, assim a geometria exterior de uma estrela carregada esfericamente simétrica deve ser dada pela métrica de Reissner-Nordström.
Referências
editar- Deser, S and Franklin, J: Schwarzschild and Birkhoff a la Weyl
- Johansen, Nils Voje; and Ravndal, Finn On the discovery of Birkhoff's theorem version of September 6, 2005.
- D'Inverno, Ray (1992). Introducing Einstein's Relativity. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-859686-3
See section 14.6 for a proof of the Birkhoff theorem, and see section 18.1 for the generalized Birkhoff theorem.
- Birkhoff, G. D. (1923). Relativity and Modern Physics. Cambrigdge, MA: Harvard University Press. LCCN 23008297
- Jebsen, J. T. (1921). Ark. Mat. Ast. Fys. 15
Ligações externas
editar- «Birkhoff's Theorem» (em inglês). em ScienceWorld
- «Demonstração do Teorema de Birkhoff»