Teorema de Eudoxius

O Teorema de Eudoxius, erroneamente atribuído a Arquimedes e chamado "Princípio de Arquimedes", apresenta um resultado importante para o Algoritmo da Divisão.

Enunciado

Dados dois inteiros a e b, b ≠ 0, então a é um múltiplo de b ou se encontra entre dois múltiplos de b.

Assim, se b > 0 temos

qb ≤ a < (q + 1)b

e se b < 0 temos

qb ≤ a < (q - 1)b

Exemplos

Se a = 11 e b = 4, devemos tomar q = 2: 4×2≤11<(2+1)×4. Como se vê, 11 está entre 8 e 12, dois múltiplos de 4.

Se a = -11 e b = 4, devemos tomar q = -3;

Se a = 11 e b = -4, devemos tomar q = -2;

Se a = -11 e b = -4, devemos tomar q = 3;

Bibliografia

• Santos, José Plínio de Oliveira (2007). Introdução à Teoria dos Números. Rio de Janeiro: IMPA. 198 páginas. ISBN 9788524401428