Teorema de Jordan-Hölder

O Teorema de Jordan-Hölder é um teorema criado pelos matemáticos Otto Hölder e Camille Jordan. O teorema Jordan-Hölder afirma que dadas duas series indefinidas de composição de um determinado grupo então estas são equivalentes. Assim, eles têm o mesmo comprimento de composição e os mesmos fatores de composição, até a permutação e o isomorfismo. Camille Jordan conceituou a composição e séries principais (cf. séries principais ) para esses grupos e demonstrou que os índices de duas séries do mesmo tipo (ou seja, os índices dos subgrupos GEu no Gi + 1) são os mesmos, excetuando-se pela ordem de aparência. Já Otto Hölder provou que os fatores correspondentes são isomórficos.

Escrita Formal do Teorema

Seja G um Grupo finito. Considere duas séries de decomposição.

$1=H_{0}\triangleleft H_{1}\triangleleft H_{2}\triangleleft \cdots \triangleleft H_{k-1}\triangleleft H_{k}=G$

$1=K_{0}\triangleleft K_{1}\triangleleft K_{2}\triangleleft \cdots \triangleleft K_{l-1}\triangleleft K_{l}=G$

Então $k=l$ e a lista de fatores de composição é única até a permutação, ou seja, as listas $\{H_{i+1}/H_{i}\}$$\{K_{j+1}/K_{j}\}$ são os mesmos, depois de reorganizar uma das listas adequadamente.

Demonstração

Tal como acontece com o teorema fundamental da aritimética, a prova procede por indução, em $\mid G\mid$.

Para $\mid G\mid =1$ é trivial. Agora suponha que o teorema foi provado para todos os grupos estritamente menores que $G$Pegue duas séries de composição $(H_{1},H_{2}.\ldots ,H_{k})$ e $(K_{1},K_{2}.\ldots ,K_{l})$ para $G$. O teorema é verdadeiro para $H=H_{k-1}$ e para $K=K_{l-1}$.

Se $H=K$ então nada temos a fazer, pois as séries de composição devem ser rearranjos uma da outra.

Se $H\neq K$, seja $L=H\cap K$.

então $L$ tem uma série de composição composta pelos grupos $L_{j}$, pela hipótese indutiva. Então existem duas séries de composição para $H$, aquele que envolve $H_{i}$ e a seguinte:

$1\vartriangleleft L_{1}\vartriangleleft L_{2}\vartriangleleft \cdots L_{t-1}\vartriangleleft L_{t}\vartriangleleft H$

(note que $L=H\cap K$ é um subgrupo máximo de $H$, pois $H/(H\cap K)\cong G/K$ pelo segundo teorema do isomorfismo)

Por indução, esta série de composição deve ser um rearranjo da outra:

$(H_{1}/H_{0},H_{2}/H_{1},\cdots H/H_{k-2})\thicksim (L_{1}/L_{0},L_{2}/L_{1},\cdots L/L_{t-1},H/L)$ $*$

$\sim$ significa "é o mesmo até a permutação". Note que os comprimentos sendo os mesmos implica que $t+1=k$

Analogamente, obtemos duas séries de composição para $K$ usando o mesmo $L_{i}$ para o segundo, isto é:

$(K_{1}/K_{0},K_{2}/K_{1},\cdots K/K_{l-2})\thicksim (L_{1}/L_{0},L_{2}/L_{1},\cdots L/L_{t-1},K/L)**$

então $t+1=l$ e isso prova que $k=l$

Agora, usando $G/H$ em $*$ e $G/K$ em $**$, temos:

$(H_{1}/H_{0},H_{2}/H_{1},\cdots ,H/H_{k-2},G/H)\thicksim (L_{1}/L_{0},L_{2}/L_{1},\cdots ,L/L_{t-1},H/L,G/H)$

$(L_{1}/L_{0},L_{2}/L_{1},\cdots ,L/L_{t-1},K/L,G/K)\thicksim (H_{1}/H_{0},H_{2}/H_{1},\cdots ,H/H_{k-2},G/K)$

Queremos que as duas listas externas sejam as mesmas até a permutação. As duas listas internas são as mesmas, exceto pelas duas últimas entradas. Mas $(H/L,G/H)$ e $(K/L,G/K)$ são iguais a $(G/K,G/H)$ e $(G/H,G/K)$, também pelo segundo teorema do isomorfismo.

Portanto, as duas listas internas são as mesmas até a permutação (uma transposição dos dois últimos fatores) $\blacksquare$

Exemplo de código fonte

Suponha que temos um grupo finito G = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e queremos encontrar a sua decomposição em termos de grupos simples. Para isso, podemos usar o teorema de Jordan-Hölder.

Primeiro, criamos a lista de subgrupos de G:

List<Set<Integer>> subgroups = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < G.size(); i++) {
  for (int j = i+1; j <= G.size(); j++) {
    subgroups.add(new HashSet<>(G.subList(i, j)));
  }
}

Em seguida, calculamos a série normal de subgrupos de G:

public static List<Group> getNormalSeries(Group G, List<Group> subgroups) {
    List<Group> normalSeries = new ArrayList<Group>();

    // Inclui o grupo G como o primeiro termo da série normal
    normalSeries.add(G);

    // Se o grupo G é trivial, a série normal consiste apenas do grupo trivial
    if (G.isTrivial()) {
        return normalSeries;
    }

    // Para cada subgrupo H em subgroups, encontra o maior subgrupo normal K de G que contém H
    for (Group H : subgroups) {
        Group K = G.getLargestNormalSubgroupContaining(H);
        if (K.isTrivial()) {
            continue;
        }
        // Recursivamente chama getNormalSeries com o grupo K e subgroups - H para obter a série normal de K
        List<Group> normalSeriesOfK = getNormalSeries(K, subtractSubgroup(subgroups, H));
        // Adiciona os grupos da série normal de K à série normal de G
        for (Group N : normalSeriesOfK) {
            if (!normalSeries.contains(N)) {
                normalSeries.add(N);
            }
        }
    }

    return normalSeries;
}

Por fim, usamos a série normal para encontrar a decomposição de G em termos de grupos simples:

public static List<Group> getSimpleFactors(List<Group> normalSeries) {
    List<Group> simpleFactors = new ArrayList<>();
    for (Group group : normalSeries) {
        if (group.isSimple()) {
            simpleFactors.add(group);
        }
    }
    return simpleFactors;
}

Referências

http://www.math.lsa.umich.edu/~speyer/594_2013/JordanHolder.pdf

• Lawrence C. Evans (1998). Partial Differential Equations. [S.l.]: American Mathematical Society, Providence. ISBN 0-8218-0772-2 
• Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, ISBN 3-540-41160-7, New York: Springer .
• The Jordan-Holder Theorem - Notes for Wednesday January 23”. David E Speyer. University of Michigan http://www.math.lsa.umich.edu/~speyer/594_2013/JordanHolder.pdf