Teorema de Landau–Yang

Em mecânica quântica, o teorema de Landau–Yang,[original 1] [original 2] é uma regra de seleção para partículas que decaem em dois fótons.

TeoremaEditar

Resultado principalEditar

Uma partícula massiva de spin 1 não pode decair para dois fótons.

HipótesesEditar

Fótons aqui representam qualquer partícula de spin 1, sem massa e sem graus de liberdade internos. Contudo, o fóton é a única partícula que se conhece com essas propriedades.

ConsequênciasEditar

O teorema tem várias consequências em física de partículas, por exemplo

  • O méson ρ não decai para dois fótons, diferente do píon neutro, que quase sempre decai nesse estado final (98,8% das vezes).[1]
  • O bóson Z não decai para dois fótons. O termo clássico não existe na lagrangeana devido à invariância de gauge, mas o teorema garante que a matriz S do decaimento é zero mesmo considerando loops quânticos.
  • O bóson de Higgs, cujo spin nunca fora medido, mas cujo decaimento para dois fótons foi observado recentemente,[2] [3] não pode ter spin 1.

DemonstraçãoEditar

Considere o referencial em que a partícula instável está parada e que os fótons decaem na direção  . Nessa configuração, o momento angular orbital dos produtos de decaimento terá sempre projeção do momento angular orbital  . Esse resultado é imediato já que   e o momento dos fótons está na direção  .

A projeção do momento angular de spin do sistema de dois fótons tem dois valores possíveis. Ela pode ser   (em unidades de  , o que será sempre assumido daqui para frente) ou  . Como a parte orbital não pode contribuir com momento angular nessa direção, é impossível usar as combinações com   para formar um estado inicial com  . As combinações com projeção zero são convenientemente escolhidas como simétricas ou anti-simétricas por troca de partículas:

 
 

O estado anti-simétrico por troca dos dois fótons idênticos exige, pelo teorema de spin-estatística, que a função de onda orbital seja também anti-simétrica e, logo, com momento angular ímpar. Como a helicidade apenas diz como o sistema se transforma por rotações em torno do eixo  , não é possível identificar o estado final com um único spin. Contudo, devido ao comportamento por rotações em torno do eixo   e por ser anti-simétrico por troca de partículas, sabe-se que o estado é exclusivamente decomposto naqueles com   ímpar e  .

 

Para formar um estado inicial com  , precisa-se então combinar cada estado acima com o momento angular orbital tal que  . Contudo, é impossível esse usar esses estados já que o coeficiente de Clebsch–Gordan[4] para:

 

é nulo para qualquer   e eles não contribuem para um estado com  . Na verdade, esse resultado é válido para qualquer   ímpar e pode-se tornar o teorema um pouco mais forte: o decaimento para dois fótons de uma partícula com spin ímpar e com auto-valor   por paridade, através de uma interação que preserve paridade, é sempre impossível.

A igualdade acima pode ser imediatamente verificada usando a propriedade de simetria dos coeficientes de Clebsch–Gordan[5]:

 

O estado simétrico também não identificável com uma única representação massiva. Contudo, devido ao seu comportamento por troca de partículas e por rotações em torno do eixo  , ele só pode ser decomposto em representações com   par e   o que, pelo teorema de spin-estatística, implica que o momento angular orbital tem que ser par, limitando-o então ao caso  . Igual ao caso acima, isso implica que o coeficiente de Clebsch–Gordan é zero. Entretanto, diferente do caso acima, para spins maiores 2, pode-se usar as componentes com projeção   e não há uma regra de seleção adicional em decaimentos que preservem paridade.

Para campos com graus de liberdade internos, como glúons, pode-se ter, por exemplo,  ,   e a função de onda de cor também anti-simétrica (por exemplo, nas representações  ), contornando a demonstração do teorema. No decaimento para campos massivos, a projeção com  , para a qual o coeficiente de Clebsch–Gordan não é nulo, é possível e novamente se contorna a demonstração do teorema.

Demonstração alternativaEditar

Uma demonstração alternativa, que não faz tanto uso direto da álgebra de momento angular na mecânica quântica, é dada pela construção explícita da amplitude invariante. No gauge de Coulomb, a amplitude invariante deve ser um escalar rotacional construído com os vetores   (momento dos fótons, vetor de spin da partícula instável e polarizações dos fótons). Tanto os vetores de spin quanto as polarizações são normalizados   e, pela condição de gauge,  . Além disso, amplitude deve ser linear em cada um dos  . Só há três combinações que satisfazem essas condições:

 

Onde o primeiro termo é par por paridade e os dois últimos ímpares. Contudo, os três termos acima são anti-simétricos por troca   e  , violando o teorema de spin-estatística. No caso em que momento angular é conservado, mas a estatística de Bose não é obedecida, os três termos acima são possíveis e usados em procura por violações dessa estatística.[6]

Resumo dos resultadosEditar

O resultado do teorema e consequências adicionais podem ser resumidos na seguinte tabela que lista os possíveis valores da soma das helicidades dos fótons (em unidades de  ) para cada valor J do spin da partícula instável massiva que decai e sua paridade.

Soma das helicidades dos fótons
J=0 J=1 J=2,4,6,... J=3,5,7,...
Paridade par 0 proibido 0,±2 ±2
Paridade ímpar 0 proibido 0 proibido


Referências originaisEditar

  1. Yang, Chen Ning (1950). «Selection Rules for the Dematerialization of a Particle into Two Photons». Physical Review. 77: 242-245. doi:10.1103/PhysRev.77.242 
  2. Landau, Lev Davidovich (1948). «The moment of a 2-photon system». Dokl. Akad. Nauk. 60: 207-209 

Referências adicionaisEditar

  1. Particle Data Group. «Light Unflavored Mesons» (PDF). Consultado em 4 de agosto de 2012 
  2. ATLAS collaboration. «Observation of a New Particle in the Search for the Standard Model Higgs Boson with the ATLAS Detector at the LHC». Submitted to Phys. Lett. B. Consultado em 4 de agosto de 2012 
  3. CMS collaboration. «Observation of a new boson at a mass of 125 GeV with the CMS experiment at the LHC». Submitted to Phys. Lett. B. Consultado em 4 de agosto de 2012 
  4. Particle Data Group. «Clebsch-Gordan Coefficients, Spherical Harmonics, and d Functions.» (PDF). Consultado em 4 de agosto de 2012 
  5. J. J. Sakurai, J. Napolitano (2010). Modern Quantum Mechanics 2, reprint ed. [S.l.]: Addison-Wesley. 550 páginas. ISBN 0805382917, 9780805382914 Verifique |isbn= (ajuda) 
  6. DeMille, D; Budker, D; Derr, N; Deveney, E (1999). «Search for Exchange-Antisymmetric Two-Photon States». Physical Review Letters. 83: 3978–3981. doi:10.1103/PhysRevLett.83.3978 

Recursos adicionaisEditar

Existem ferramentas on-line para fazer as decomposições simétricas e anti-simétricas de produtos tensoriais de representações álgebras de Lie em representações irredutíveis. Essas ferramentas podem ser usadas para verificar os diversos resultados algébricos mencionados nesse artigo.