Teorema de Vinogradov

Em Teoria dos números, o teorema de Vinogradov mostra que qualquer número impar suficientemente grande pode ser representado como a soma de três números primos. É um teorema mais fraco que a conjectura fraca de Goldbach, segundo a qual diz que, está representação vale para todo impar maior que cinco. Foi nomeado após Ivan Vinogradov fazer sua demostração nos anos 30. O resultado do teorema proporciona limites assintóticos no números de representações de um número impar como uma soma de três primos.

Enunciado do Teorema de VinogradovEditar

Dado A um número real positivo. Então

 

onde

 ,

usando a função de Mangoldt  , e

 

Uma consequênciaEditar

Se N é impar, então G(N) é aproximadamente 1, por tanto   para todo N suficientemente grande. Fica a mostrar que a contribuição das potências próprias de primos para r(N) é  , se pode ver que : , onde k é o número de formas em que N pode ser expressado como soma de três primos. Isto significa em particular que qualquer impar suficientemente grande pode ser expresso como uma soma de três primos, logo prova a conjectura fraca de Goldbach, exceto para número finito de casos.

CuriosidadesEditar

Embora Vinográdov não pôde determinar com exatidão o que significava "suficientemente grande", seu aluno K. Borozdkin demonstrou que   é um cota superior para o conceito de "suficientemente grande". Este número têm 4.008.660 de dígitos, assim mostrar a conjectura em cada número menor que esta cota seria inviável com a tecnologia atual. Em 2002, Liu Ming-Chit (Universidade de Hong Kong) e Wang Tian-Ze abaixaram essa cota para aproximadamente  . O expoente continua muito grande para uma verificação computacional de todos os números menores. ( Pesquisas por computador têm apenas alcançado   para a conjectura forte, e não mais que isso para a conjectura fraca).

ReferênciasEditar

  • I.M. Vinogradov (1954). The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers. New York: Interscience  Parâmetro desconhecido |translators= ignorado (ajuda)
  • Melvyn B. Nathanson (1996). Additive Number Theory: the Classical Bases. Col: Graduate Texts in Mathematics. 164. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94656-X  Chapter 8.

Ligações externasEditar

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