Transformada de Gabor

A transformada de Gabor, em homenagem a Dennis Gabor, é um caso especial da Transformada de Fourier de Tempo Curto. É utilizada para determinar a frequência senoidal e o conteúdo da fase das seções locais de um sinal à medida que muda ao longo do tempo. A função a ser transformada é multiplicada primeiramente por uma função Gaussiana, que pode ser considerada como uma função de janela, e a função resultante é então transformada com uma transformada de Fourier para derivar a análise tempo-frequência. A função de janela indica que o sinal próximo ao tempo analisado terá maior peso. A transformada de Gabor de um sinal x(t) é definida por esta fórmula:

$G_{x}(\tau ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e^{-j\omega t}\,dt$

Magnitude da função gaussiana

A função gaussiana tem um intervalo infinito e é impossível de implementar. Contudo, um nível de significância pode ser escolhido (por exemplo 0.00001) para a distribuição da função gaussiana.

${\begin{cases}e^{-{\pi }a^{2}}\geq 0.00001;&\left|a\right|\leq 1.9143\\e^{-{\pi }a^{2}}<0.00001;&\left|a\right|>1.9143\end{cases}}$

Fora destes limites de integração ($\left|a\right|>1.9143$) a função gaussiana é suficientemente pequena para ser ignorada. Assim, a transformada de Gabor pode ser satisfatoriamente aproximada como

$G_{x}(\tau ,\omega )=\int _{-1.9143+\tau }^{1.9143+\tau }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e^{-j\omega t}\,dt$

Esta simplificação torna a transformada de Gabor prática e viável.

A largura da função de janela também pode ser variada para otimizar a troca de resolução tempo-frequência para uma aplicação específica, substituindo o ${-{\pi }(t-\tau )^{2}}$ por ${-{\pi }\alpha (t-\tau )^{2}}$ para algum alfa escolhido.

Transformada inversa de Gabor

A transformada de Gabor é invertível. O sinal original pode ser recuperado pela seguinte equação

$x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau ,\omega )e^{j\omega t+\pi (t-\tau )^{2}}\,d\omega /(2\pi )$

Propriedades da Transformada de Gabor

A transformada de Gabor tem muitas propriedades como aquelas da transformada de Fourier. Essas propriedades estão listadas nas tabelas a seguir.

	Sinal	Transformada de Gabor	Observações
	$x(t)\,$	$G_{x}(\tau ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e^{-j\omega t}\,dt$
1	$a\cdot x(t)+b\cdot y(t)\,$	$a\cdot G_{x}(\tau ,\omega )+b\cdot G_{y}(\tau ,\omega )\,$	Propriedade de linearidade
2	$x(t-t_{0})\,$	$G_{x}(\tau -t_{0},\omega )e^{-j\omega t_{0}}\,$	Propriedade de mudança
3	$x(t)e^{j\omega _{0}t}\,$	$G_{x}(\tau ,\omega -\omega _{0})\,$	Propriedade de modulação

		Observações
1	$\int _{-\infty }^{\infty }\left|G_{x}(\tau ,\omega )\right|^{2}\,d\omega =\int _{-\infty }^{\infty }\left|x(t)\right|^{2}e^{-2\pi (t-\tau )^{2}}dt\approx \int _{u-1.9143}^{u+1.9143}\left|x(t)\right|^{2}e^{-2\pi (t-u)^{2}}dt$	Propriedade de integração de energia
2	$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau ,\omega )G_{y}^{*}(\tau ,\omega )\,d\omega \,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }x(t)y^{*}(t)\,d\tau$	Propriedade de soma de energia
3	${\begin{cases}\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|G_{x}(\tau ,\omega )\right|^{2}d\omega <e^{-2\pi (t-t_{0})^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|G_{x}(\tau _{0},\omega )\right|^{2}\,d\omega ;&{\text{if }}x(t)=0{\text{ for }}t>t_{0}\\[12pt]\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|G_{x}(\tau ,\omega )\right|^{2}\,d\tau <e^{-(\omega -\omega _{0})^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|G_{x}(\tau ,\omega _{0})\right|^{2}\,d\tau ;&{\text{if }}X(\omega )=FT[x(t)]=0{\text{ for }}\omega >\omega _{0}\end{cases}}$	Propriedade de decaimento de energia
4	$\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau ,\omega )e^{j\omega t}\,d\omega =2\pi e^{-\pi (t-\tau )^{2}}x(t)$	Propriedade de recuperação

Aplicação e exemplo

Distribuição tempo-frequência

A principal aplicação da transformada de Gabor é usada em análises tempo-frequência. Tome a seguinte equação como um exemplo. O sinal de entrada tem componente de frequência de 1 Hz quando t ≤ 0 e tem componente de frequência de 2 Hz quando t > 0

$x(t)={\begin{cases}\cos(2\pi t)&{\text{para }}t\leq 0,\\\cos(4\pi t)&{\text{para }}t>0.\end{cases}}$

Mas se a largura de banda total disponível for de 5 Hz, outras bandas de frequência, com exceção de x(t), serão desperdiçadas. Através da análise tempo-frequência, aplicando a transformada de Gabor, a largura de banda disponível pode ser conhecida e essas bandas de frequência podem ser usadas para outras aplicações, assim, a largura de banda é salva. A imagem do lado direito mostra o sinal de entrada ' 'x ' '( ' ’t ' ') e a saída da transformada de Gabor. Como era nossa expectativa, a distribuição de frequência pode ser separada em duas partes. Uma é t ≤ 0 e a outra é t > 0. A parte branca é a banda de frequência ocupada por x(t) e a parte preta não é utilizada. Nota-se que, para cada ponto no tempo, existe uma componente de frequência negativa (parte branca superior) e uma positiva (parte branca inferior).

Transformada discreta de Gabor

Uma versão discreta da representação de Gabor

$y(t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }C_{nm}\cdot g_{nm}(t)$

com $g_{nm}(t)=s(t-m\tau _{0})\cdot e^{j\Omega nt}$

pode ser derivada facilmente através da discretização da função base de Gabor nestas equações. Assim, o parâmetro contínuo t é substituído pelo tempo discreto k. Além disso, o limite de soma agora finito na representação de Gabor tem de ser considerado. Desta forma, o sinal amostrado y(k) é dividido em M períodos de tempo de comprimento N. De acordo com $\Omega \leq {\tfrac {2\pi }{\tau _{0}}}$, o fator Ω para a amostragem crítica é $\Omega ={\tfrac {2\pi }{N}}$

Similar à DFT (Transformação Discreta de Fourier), obtém-se um domínio de frequência dividido em N partições discretas. Uma transformação inversa destas N partições espectrais conduz então a N valores y(k) para a janela de tempo, que consiste em N valores de amostra. Para janelas de tempo M globais com N valores de amostra, cada sinal y(k) contém K=N $\cdot$.M valores de amostra (a representação discreta de Gabor):

$y(k)=\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}C_{nm}\cdot g_{nm}(k)$

com $g_{nm}(k)=s(k-mN)\cdot e^{j\Omega nk}$

De acordo com a equação acima, os coeficientes N $\cdot$M $C_{nm}$ correspondem ao número de valores de amostra K do sinal.

Para a super amostragem $\Omega$ está definido para $\Omega \leq {\tfrac {2\pi }{N}}={\tfrac {2\pi }{N^{\prime }}}$ com N' > N, que resulta em coeficientes de soma N ' > N na segunda soma da representação discreta de Gabor. Neste caso, o número de coeficientes de Gabor obtidos seria M $\cdot$N'>K. Assim, mais coeficientes do que os valores amostrais estão disponíveis e, portanto, uma representação redundante seria obtida.

Transformada de Gabor escalonada

Tal como na Transformada de Fourier de Tempo Curto, podemos ajustar a resolução no domínio do tempo e da frequência, escolhendo diferentes larguras de funções de janela. Nos casos da Transformada de Gabor, isso é feito adicionando a variância $\sigma$, como na seguinte equação:

A janela gaussiana escalonada (normalizada) denota como:

$W_{gaussian}(t)=e^{-\sigma \pi t^{2}}$

Portanto, a transformada de Gabor escalonada pode ser escrita como:

$G_{x}(t,f)={\sqrt[{4}]{\sigma }}\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle e^{-\sigma \pi (\tau -t)^{2}}e^{-j2\pi f\tau }x(\tau )d\tau \qquad$

Com $\sigma$ grande, a função de janela será estreita, causará maior resolução no domínio do tempo, mas menor resolução no domínio da frequência. Caso contrário, se a $\sigma$ for pequena, causará uma janela larga, com maior resolução no domínio da frequência, mas menor resolução no domínio do tempo.

Veja também

• Filtros de Gabor
• Wavelet de Gabor
• Átomo de Gabor
• Representação tempo-frequência
• Transformada S
• Transformada de Fourier de Tempo Curto
• Distribuição de Wigner

Referências

• D. Gabor, Theory of Communication, Part 1, J. Inst. of Elect. Eng. Part III, Radio and Communication, vol 93, p. 429 1946 (http://genesis.eecg.toronto.edu/gabor1946.pdf)

• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2007.