Transformada real de Fourier

Em matemática, a transformada real de Fourier é uma transformada integral derivada da transformada de Fourier, que apresenta a vantagem de evitar a necessidade de se trabalhar com números complexos no cálculo.

Definição

A transformada real de Fourier R(ν) de uma função f(t) é definida pelas expressões

$R(\nu )\;=\;{\mathcal {R}}f(t)\}\;=\;2\;\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot \cos(2\pi \nu t\;+\;\theta (\nu ))\;dt\;\;\;\;\;(1a)$

$\theta (\nu )\;=\;\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}&:&\nu <0\\0&:&\nu \geq 0\end{matrix}}\right.\;\;\;\;\;(1b)$

A transformada inversa é dada por

$f(t)\;=\;{\mathcal {R}}^{-1}\{R(\nu )\}\;=\;\int _{-\infty }^{\infty }R(\nu )\cdot \cos(2\pi \nu t\;+\;\theta (\nu ))\;d\nu \;\;\;\;\;(2a)$

Uma expressão alternativa para (2a) é

$f(t)\;=\;{\mathcal {R}}^{-1}\{R(\nu )\}\;=\;\int _{0}^{\infty }\left[R_{i}(\nu )\cdot \sin(2\pi \nu t)\;+\;R_{p}(\nu )\cdot \cos(2\pi \nu t)\right]\;d\nu \;\;\;\;\;(2b)$

com R_i(ν) e R_p(ν) sendo, respectivamente, as componentes ímpar e par de R(ν), dadas pelas equações seguintes:

$R_{i}(\nu )\;=\;2\;\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot \sin(2\pi \nu t)\;dt\;\;\;\;\;(1c)$

$R_{p}(\nu )\;=\;2\;\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot \cos(2\pi \nu t)\;dt\;\;\;\;\;(1d)$

R_i(ν) e R_p(ν) possuem a propriedade interessante

$R(\nu )\;=\;\left\{{\begin{matrix}R_{i}(\nu )&:&\nu <0\\R_{p}(\nu )&:&\nu \geq 0\end{matrix}}\right.\;\;\;\;\;(3a)$

Condições de existência

Para que a transformada real de Fourier de uma função f(t) exista, é necessário que:

• f(t) seja uma função real de valores reais
• f(t) seja um sinal de energia finita

Ver também

• Lista de transformadas relacionadas à transformada de Fourier
• Transformada de Hartley