Usuário(a):Emerson C Soares Mendes/Testes

A Matemática Babilônica na Resolução de Equações Quadráticas

Tabuleta de argila babilônica com inscrições. A diagonal mostra uma aproximação da raiz quadrada de 2, com seis casas decimais.
1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ = 1.41421296...

A tabuleta Plimpton 322.

A Babilônia era uma cidade situada na região da mesopotâmia, situada entre os rios Tigre e Eufrates. E nessa região, formou um dos principais períodos históricos do mundo antigo através do Império Babilônico, cuja duração foi dividida em dois períodos, onde o primeiro Império durou de 1972 a.C até 1750 a.C, e o segundo período do Império, conhecido como Império Neobabilônico, durou de 628 a.C até 539 a.C, sendo o fim desse período marcado pelas conquistas de Ciro, onde se iniciou o domínio de um novo império, o Império Aquemênida.

Diante de tamanha grandeza, e a dinâmica comercial de uma grande cidade, havia a necessidade de se contabilizar, padronizar e criar modelos para sintetizar um complexo sistema numérico, conhecido como sistema sexagesimal.

Existem registros das atividades matemáticas do povo babilônico, envolvendo desde atividades comerciais até atividades escolares. Esses registros tem como característica a escrita cuneiforme, sendo representada por pictogramas com linhas verticais, horizontais impressas com uma cunha, pressionada nos tabletes de argila, e graças a resistência desse material, tornou se possível através de pesquisas conhecer um pouco do desenvolvimento da matemática babilônica.

Dessa maneira, há uma diversidade de material matemático, a ser analisada, e dentre os que já foram encontrados, existem registros de uma eficácia computacional, onde nos registros dos tabletes tinham algoritmos.

Os babilônios, também desenvolveram o sistema numérico posicional , sendo o primeiro já visto na humanidade, segundo os pesquisadores.

Nesses registros, encontram se diversos problemas matemáticos, envolvendo desde potenciação, extração de raízes quadradas ( por meio de método iterativo), resolução de equações de primeiro e segundo grau, e até problemas geométricos que eram resolvidos por meio do método da mensuração prática.

O Problema das Equações Quadráticas

Esboço do gráfico da função $f(x)=x^{2}-x-2$, uma função quadrática

Em Matemática, uma função quadrática, um polinômio quadrático, um polinômio de grau 2 ou um polinômio de segundo grau, é uma função polinomial de segundo grau.

Postula-se que o povo babilônico fora um dos primeiros a resolver equações quadráticas, como forma de “receitas”, ou seja, roteiros estabelecidos, e aqui nessa seção iremos tratar esse fato.

Atualmente o método que utilizamos para resolver as equações quadráticas é o de aplicar a conhecida fórmula de Báskara, para encontrar as raízes (as soluções) de uma equação de segundo grau, tanto positivas, quanto negativas. Iremos aqui, nos concentrar ao aplicar o método babilônico, quando $x>0$ , ou seja, no resultado em que a raiz é positiva.

O problema referido é: Somei 4 vezes o lado do quadrado com uma vez a sua área e obtive 21, qual é o valor do lado do quadrado?

Essa equação é descrita em nossa notação através da expressão $x^{2}+4x=21$. $(1)$

A receita prática para a resolução de tal problema é assim descrito: Multiplica-se 4 por 4 e somando com o resultado de 4 multiplicado por 21, e extraindo a raiz quadrada, e subtraindo 4 e dividindo o resultado por 2, obtemos 3.

Em símbolos conhecidos por nós temos: $$\surd 4.4+4.21-4/2=3$$Descrito algebricamente temos que essa equação pode ser expressa por $x^{2}-bx=c$ . Usando o método babilônico para encontrar o valor de $x$, devemos adicionar o valor $\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}$nos dois membros da equação quadrática, e assim temos:

$x$ $-$ $\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}$ $=$ $c$ $+$$\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}$ $\Rightarrow$ ${\biggl (}x-b/2{\biggr )}^{2}=c+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}$ $\Rightarrow$ $x-b/2=\surd c+(b/2)^{2}\Rightarrow$ $x=b/2+\surd c+(b/2)^{2}(1)'$

Aplicando $(1)'$ em $(1)$, obteremos o mesmo resultado da receita, e linguagem matemática atual ,temos que $b=-4$ e $c=21$.

Logo, $x=-4/2+\surd 21+(-4/2)^{2}\Longrightarrow x=-2+\surd 21+4\Longrightarrow x=-2+\surd 25\Longrightarrow x=-2+5\Longrightarrow x=3$

Experimentando esse método na equação $x^{2}+2x=15$ $(2)$, temos que $b=-2$ e $c=15$, e aplicando $(1)'$ em $(2)$, obtemos:

$x=-2/2+\surd 15+(-2/2)^{2}\Longrightarrow x=-1+\surd 16\Longrightarrow x=-1+4\Longrightarrow x=3$

Assim, pode se aplicar esse método para equações quadráticas, e assim é possível obter soluções para valores de $x>0$ de uma equação quadrática.