Usuário(a):Lmeurer91/Testes

Visão Geral

Representação de um sistema genérico com uma entrada e uma saída.

Um sistema tem como função processar um conjunto de dados ou informação na entrada e o modificar gerando um novo conjunto de dados na saída. Exemplos clássicos de sistemas são circuitos elétricos e sistemas mecânicos massa-mola.

Considerando um sistema linear invariante no tempo e casual, a função de transferência relaciona os sinais de entrada com os de saídas através da transformada de Laplace.

Definição

A função de transferência é definida como a razão entra a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada de um dado sistema quando as condições iniciais são nulas. Isto é:

$H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}\{y(t)\}}{{\mathcal {L}}\{x(t)\}}}$

Onde, $H(s)$ é a função de transferência, $Y(s)$ a transformada de Laplace do sinal de saída e $X(s)$ a transformada de Laplace do sinal de entrada.

A função de transferência pode ser interpretada como a resposta impulso, denotado por h(t), de um sistema linear invariante no tempo e inicialmente nulo:

$H(s)={\mathcal {L}}\left\{h(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,dt\,\!$

Em um circuito elétrico, por exemplo, a função de transferência pode representar a relação entre a tensão de um sinal aplicado na entrada com a tensão de saída do circuito.

$H(s)={\frac {Vo(s)}{Vi(s)}}$

Sistema linear diferencial

Considerando um sistema linear diferencial de equação:

${d^{n}y \over dt^{n}}+a_{1}{d^{n-1}y \over dt^{n-1}}+...+a_{n-1}{dy \over dt}+{a_{n}y(t)}=b_{0}{d^{m}x \over dt^{m}}+b_{1}{d^{m-1}x \over dt^{m-1}}+...+b_{m-1}{dx \over dt}+b_{m}x(t)$

onde todos os coeficientes $a_{i}$ e $b_{i}$ são constantes e $n\geq m$. Denotando o operador diferencial $D={\frac {d}{dt}}$ e definindo os polinômios:

$Q(D)=D^{n}+a_{1}D^{n-1}+...+a_{n-1}D+a_{n}$

$P(D)=b_{0}D^{m}+b_{1}D^{m-1}+...+b_{m-1}D+b_{m}$

Então, a equação do sistema pode ser denotada por: $Q(D)y(t)=P(D)y(t)$

Supondo que as condições iniciais são nulas, $y(0^{-})=...=y(0^{n-1})=x(0^{-})=...=x(0^{m-1})=0$

e usando a propriedade da derivada para aplicar a transformada de Laplace nos dois lados da equação, temos:

$(s^{n}+a_{1}s^{n-1}+...+a_{n-1}s+a_{n})Y(s)=(b_{0}s^{m}+b_{1}s^{m-1}+...+b_{m-1}s+b_{m})X(s)$

$Y(s)={b_{0}s^{m}+b_{1}s^{m-1}+...+b_{m-1}s+b_{m} \over s^{n}+a_{1}s^{n-1}+...+a_{n-1}s+a_{n}}X(s)={P(s) \over Q(s)}X(S)$

Logo, $H(s)={P(s) \over Q(s)}$

A fração racional entre os polinômios é denominada de função de transferência do sistema diferencial linear especificado anteriormente, que relaciona uma saída y(t) com a entrada x(t)..

Integral de convolução

O sinal de saída de um sistema pode ser escrito como o produto da função transferência pelo sinal de entrada, isto é:

$Y(s)=H(s)X(s)$

Aplicando a transformada inversa de Laplace e o teorema da convolução:

${\mathcal {L}}^{-1}\{Y(s)\}={\mathcal {L}}^{-1}\{X(s)H(s)\}$

$y(t)=x(t)*h(t)$

$y(t)=\int _{0}^{t}x(\tau )h(t-\tau )d\tau$

Onde $h(t)$ é a resposta impulso do sistema, e $x(t)$ é uma funcao casual, ou seja, $x(t)=0$ para $t<0$.

A integral de convolução pode ser muito útil para a análises de sistemas em casos que o método da transformada é muito complicado.

Invariância no tempo

Para um sinal deslocado de $a$ segundos, temos:

${\mathcal {L}}\{x(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}X(s)$

Assim, a saída se torna:

$Y(s)=H(s)X(s)e^{-as}$

Se $y(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}$ ,concluímos que:

$y(t-a)u(t-a)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)e^{-as}\}$

Portanto, um deslocamento de $a$ segundos no sinal de entrada do sistema resulta em um mesmo deslocamento de $a$ segundos no sinal de saída. Por isso, o sistema é chamado de invariante no tempo.

Ver também

• Engenharia elétrica
• Engenharia de controle e automação
• Teoria de controle
• Controle em malha aberta

Ligações externas

• Transfer function model in Mathematica