Equação da cônica
Γ
{\displaystyle \Gamma }
:
Γ
:
A
x
2
+
B
x
y
+
C
y
2
+
D
x
+
E
y
+
F
=
0
{\displaystyle \Gamma :\ A\ x^{2}+B\ xy+C\ y^{2}+D\ x+E\ y+F=0}
Equação da elipse
E
{\displaystyle \mathrm {E} }
:
E
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle \mathrm {E} :\ {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1}
Equação de uma reta
t
′
{\displaystyle t^{\prime }}
tangente a
Γ
{\displaystyle \Gamma }
pelo ponto
P
=
(
x
P
,
y
P
)
∈
Γ
{\displaystyle P=(x_{P},y_{P})\in \Gamma }
:
t
′
:
A
(
x
P
⋅
x
)
+
B
(
x
P
⋅
y
+
y
P
⋅
x
2
)
+
C
(
y
P
⋅
y
)
+
D
(
x
P
+
x
2
)
+
E
(
y
P
+
y
2
)
+
F
=
0
{\displaystyle t^{\prime }:\ A\ (x_{P}\cdot x)+B\ {\biggl (}{x_{P}\cdot y+y_{P}\cdot x \over 2}{\biggr )}+C\ (y_{P}\cdot y)+D\ {\biggl (}{x_{P}+x \over 2}{\biggr )}+E\ {\biggl (}{y_{P}+y \over 2}{\biggr )}+F=0}
Caso particular: equação de uma reta
t
{\displaystyle t}
tangente a
E
{\displaystyle \mathrm {E} }
pelo ponto
P
=
(
x
P
,
y
P
)
∈
E
{\displaystyle P=(x_{P},y_{P})\in \mathrm {E} }
:
t
:
x
⋅
x
P
a
2
+
y
⋅
y
P
b
2
=
1
{\displaystyle t:\ x\cdot {x_{P} \over a^{2}}+y\cdot {y_{P} \over b^{2}}=1}
⇔
{
x
⋅
x
P
/
a
2
=
1
,
se
y
P
=
0
y
=
b
2
/
y
P
−
x
⋅
(
x
P
b
2
)
/
(
y
P
a
2
)
,
se
y
P
≠
0
{\displaystyle \Leftrightarrow {\begin{cases}{x\cdot x_{P}/a^{2}=1},&{\text{ se }}y_{P}=0\\{y={b^{2}/y_{P}}-x\cdot (x_{P}\ b^{2})/(y_{P}\ a^{2})},&{\text{ se }}y_{P}\neq 0\end{cases}}}
.
No caso em que
y
P
≠
0
{\displaystyle y_{P}\neq 0}
, pode-se escrever os coeficientes angular
m
{\displaystyle m}
e linear
n
{\displaystyle n}
como segue:
m
=
(
x
P
b
2
)
(
y
P
a
2
)
⇒
x
P
=
m
y
P
a
2
b
2
(
ℵ
)
{\displaystyle m={(x_{P}\ b^{2}) \over (y_{P}\ a^{2})}\Rightarrow x_{P}=m\ y_{P}{a^{2} \over b^{2}}\qquad (\aleph )}
;
n
=
b
2
y
P
(
ℶ
)
{\displaystyle n={b^{2} \over y_{P}}\qquad (\beth )}
.
Porque
P
∈
t
{\displaystyle P\in t}
, tem-se:
{
x
P
⋅
x
P
/
a
2
=
1
,
se
y
P
=
0
y
P
=
b
2
/
y
P
−
x
P
m
,
se
y
P
≠
0
{\displaystyle {\begin{cases}x_{P}\cdot x_{P}/a^{2}=1,&{\text{ se }}y_{P}=0\\y_{P}=b^{2}/y_{P}-x_{P}\ m,&{\text{ se }}y_{P}\neq 0\end{cases}}}
⇔
{
x
P
=
±
a
,
se
y
P
=
0
y
P
2
⋅
(
1
+
m
x
P
/
y
P
)
=
b
2
,
se
y
P
≠
0
(
ℷ
)
{\displaystyle \Leftrightarrow {\begin{cases}x_{P}=\pm a,&{\text{ se }}y_{P}=0\\y_{P}^{2}\cdot (1+m\ x_{P}/y_{P})=b^{2},&{\text{ se }}y_{P}\neq 0\qquad (\gimel )\end{cases}}}
Substituindo
(
ℵ
)
{\displaystyle (\aleph )}
em
(
ℷ
)
{\displaystyle (\gimel )}
:
{
x
P
=
±
a
,
se
y
P
=
0
y
P
2
⋅
(
1
+
m
2
a
2
/
b
2
)
=
b
2
,
se
y
P
≠
0
{\displaystyle {\begin{cases}x_{P}=\pm a,&{\text{ se }}y_{P}=0\\y_{P}^{2}\cdot (1+m^{2}\ a^{2}/b^{2})=b^{2},&{\text{ se }}y_{P}\neq 0\end{cases}}}
⇔
{
x
P
=
±
a
,
se
y
P
=
0
1
/
y
P
=
±
1
+
m
2
a
2
/
b
2
/
b
,
se
y
P
≠
0
(
ℸ
)
{\displaystyle \Leftrightarrow {\begin{cases}x_{P}=\pm a,&{\text{ se }}y_{P}=0\\1/y_{P}=\pm {\sqrt {1+m^{2}\ a^{2}/b^{2}}}/b,&{\text{ se }}y_{P}\neq 0\qquad (\daleth )\end{cases}}}
.
Substituindo
(
ℸ
)
{\displaystyle (\daleth )}
em
(
ℶ
)
{\displaystyle (\beth )}
:
n
=
±
b
2
+
m
2
a
2
{\displaystyle n=\pm {\sqrt {b^{2}+m^{2}\ a^{2}}}}
Com isso, as equações das retas
t
{\displaystyle t}
são:
t
:
{
x
=
±
a
,
se
y
P
=
0
y
=
±
b
2
+
m
2
a
2
+
m
⋅
x
,
se
y
P
≠
0
◼
{\displaystyle t:{\begin{cases}x=\pm a,&{\text{ se }}y_{P}=0\\y=\pm {\sqrt {b^{2}+m^{2}\ a^{2}}}+m\cdot x,&{\text{ se }}y_{P}\neq 0\end{cases}}\qquad \blacksquare }
Considere-se, para fins algébricos, uma hipérbole
H
{\displaystyle \mathrm {H} }
como sendo uma elipse de semieixo menor
b
i
{\displaystyle bi}
. Assim, tem-se, para a equação da hipérbole,
H
:
x
2
a
2
+
y
2
(
b
i
)
2
=
1
⇔
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle \mathrm {H} :\ {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over (bi)^{2}}=1\Leftrightarrow {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1}
.
Com isso, podem-se obter, dado um coeficiente angular
m
{\displaystyle m}
, as equações das retas tangentes a uma hipérbole por um ponto
P
=
(
x
P
,
y
P
)
∈
H
{\displaystyle P=(x_{P},y_{P})\in \mathrm {H} }
por intermédio do mesmo tratamento algébrico realizado com a elipse, apenas considerando essa hipérbole como uma elipse de semieixos
a
{\displaystyle a}
e
b
i
{\displaystyle bi}
. Conclui-se que as equações das retas
t
{\displaystyle t}
são:
t
:
{
x
=
±
a
,
se
y
P
=
0
y
=
±
(
b
i
)
2
+
m
2
a
2
+
m
⋅
x
,
se
y
P
≠
0
{\displaystyle t:{\begin{cases}x=\pm a,&{\text{ se }}y_{P}=0\\y=\pm {\sqrt {(bi)^{2}+m^{2}\ a^{2}}}+m\cdot x,&{\text{ se }}y_{P}\neq 0\end{cases}}}
⇔
t
:
{
x
=
±
a
,
se
y
P
=
0
y
=
±
m
2
a
2
−
b
2
+
m
⋅
x
,
se
y
P
≠
0
e
|
m
a
|
≥
b
◼
{\displaystyle \Leftrightarrow t:{\begin{cases}x=\pm a,&{\text{ se }}y_{P}=0\\y=\pm {\sqrt {m^{2}\ a^{2}-b^{2}}}+m\cdot x,&{\text{ se }}y_{P}\neq 0{\text{ e }}|m\ a|\geq b\end{cases}}\qquad \blacksquare }
A condição
|
m
a
|
≥
b
⇔
|
m
|
≥
b
a
{\displaystyle |m\ a|\geq b\Leftrightarrow |m|\geq {b \over a}\ }
deriva do fato de que nenhuma reta com coeficiente angular de módulo menor que o módulo do coeficiente angular das assíntotas de uma hipérbole tangencia essa cônica, não havendo, portanto, equação de reta tangente com esse coeficiente angular.
Equação da parábola
Π
{\displaystyle \Pi }
:
P
:
x
2
=
2
p
⋅
y
{\displaystyle \mathrm {P} :\ x^{2}=2p\cdot y}
Equação de uma reta
t
′
{\displaystyle t^{\prime }}
tangente a
Γ
{\displaystyle \Gamma }
pelo ponto
P
=
(
x
P
,
y
P
)
∈
Γ
{\displaystyle P=(x_{P},y_{P})\in \Gamma }
:
t
′
:
A
(
x
P
⋅
x
)
+
B
(
x
P
⋅
y
+
y
P
⋅
x
2
)
+
C
(
y
P
⋅
y
)
+
D
(
x
P
+
x
2
)
+
E
(
y
P
+
y
2
)
+
F
=
0
{\displaystyle t^{\prime }:\ A\ (x_{P}\cdot x)+B\ {\biggl (}{x_{P}\cdot y+y_{P}\cdot x \over 2}{\biggr )}+C\ (y_{P}\cdot y)+D\ {\biggl (}{x_{P}+x \over 2}{\biggr )}+E\ {\biggl (}{y_{P}+y \over 2}{\biggr )}+F=0}
Caso particular: equação de equação de uma reta
t
{\displaystyle t}
tangente a
Π
{\displaystyle \Pi }
pelo ponto
P
=
(
x
P
,
y
P
)
∈
Π
{\displaystyle P=(x_{P},y_{P})\in \Pi }
:
t
:
x
P
⋅
x
=
2
p
⋅
(
y
P
+
y
2
)
{\displaystyle t:\ x_{P}\cdot x=2p\cdot {\biggl (}{y_{P}+y \over 2}{\biggr )}}
⇔
y
=
x
⋅
x
P
p
−
y
P
{\displaystyle \Leftrightarrow y=x\cdot {x_{P} \over p}-y_{P}}
.
Com isso, pode-se escrever os coeficientes angular
m
{\displaystyle m}
e linear
n
{\displaystyle n}
de
t
{\displaystyle t}
como segue:
m
=
x
P
p
⇔
x
P
=
p
m
(
ℵ
′
)
{\displaystyle m={x_{P} \over p}\Leftrightarrow x_{P}=p\ m\qquad (\aleph ^{\prime })}
;
n
=
−
y
P
(
ℶ
′
)
{\displaystyle n=-y_{P}\qquad (\beth ^{\prime })}
.
Porque
P
∈
P
{\displaystyle P\in \mathrm {P} }
, tem-se que:
y
P
=
x
P
⋅
x
P
p
−
y
P
⇔
y
P
=
x
P
2
2
p
(
ℷ
′
)
{\displaystyle y_{P}=x_{P}\cdot {x_{P} \over p}-y_{P}\Leftrightarrow y_{P}={x_{P}^{2} \over 2p}\qquad (\gimel ^{\prime })}
.
Substituindo
(
ℷ
′
)
{\displaystyle (\gimel ^{\prime })}
em
(
ℶ
′
)
{\displaystyle (\beth ^{\prime })}
:
n
=
−
x
P
2
2
p
(
ℸ
′
)
{\displaystyle n=-{x_{P}^{2} \over 2p}\qquad (\daleth ^{\prime })}
Substituindo
(
ℵ
′
)
{\displaystyle (\aleph ^{\prime })}
em
(
ℸ
′
)
{\displaystyle (\daleth ^{\prime })}
:
n
=
−
p
m
2
2
{\displaystyle n=-{p\ m^{2} \over 2}}
.
Conclui-se que a equação da reta
t
{\displaystyle t}
é:
y
=
m
⋅
x
−
p
m
2
2
◼
{\displaystyle y=m\cdot x-{p\ m^{2} \over 2}\qquad \blacksquare }