Usuário(a):R. F. Camargo/Soluções de equações diferenciais

Exemplo 1:

Um oscilador harmônico sujeito a uma força pontual periódica. Esta força pode ser representada por uma função Delta de Dirac, logo a equação do oscilador é:

$y''+y=4\delta (t-2\pi )$

$y(0)=1,y'(0)=0$.

Aplicando Transformada de Laplace dos dois lados temos

${\mathcal {L}}\{y''+y\}={\mathcal {L}}\{4\delta (t-2\pi )\}$

$S^{2}Y(S)-Sy(0)-y'(0)+Y(S)=4e^{-2S\pi }$

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$Y(s)={\frac {s}{s^{2}+1}}+{\frac {4e^{2\pi s}}{s^{2}+1}}\,$.

Agora aplicando a transformada inversa dos dois lados

$y(t)=cos(t)+4sen(t-2\pi )U(t-2\pi )\,$.

Na qual $U(t-2\pi )\,$. é uma função degrau ou Função de Heaviside.

Exemplo 2

Molas Acopladas

Duas massas $m_{1}$ e $m_{2}$ estão presas a duas molas de massas desprezíveis, com constantes elásticas $k_{1}$ e $k_{2}$ respectivamente.

Sejam $x_{1}(t)$ e $x_{2}(t)$ os deslocamentos verticais das massas em relação a posição de equilíbrio, temos que o alongamento da mola B será $x_{2}-x_{1}$

Pela segunda lei de Newton temos

$m_{1}{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}=-k_{1}x_{1}+k_{2}(x_{2}-x_{1})\qquad {\mbox{e}}$

$m_{2}{\frac {d^{2}x_{2}}{dt^{2}}}=-k_{2}(x_{2}-x_{1})$

A solução desse problema via transformada integral se torna simples, pois através dela o problema se torna equivalente a um sistema de equações lineares.

EXEMPLO:

Sendo $k_{1}=6$, $k_{2}=4$ e $m_{1}=m_{2}=1$, e dado que

$x_{1}(0)=x_{2}(0)=0$ e $x'_{1}(0)=-x'_{2}(0)=1$ (condições)

Temos as seguintes EDO’s:

$x''_{1}+10x_{1}-4x_{2}=0$

$x''_{2}-4x_{1}+4x_{2}=0$

Aplicando transformada de Laplace nas duas equações temos:

$s^{2}X_{1}(s)-sx_{1}(0)-x'_{1}(0)+10X_{1}(s)-4X_{2}(s)=0$

$s^{2}X_{2}(s)-sx_{2}(0)-x'_{2}(0)+4X_{2}(s)-4X_{1}(s)=0$

Agora simplesmente resolvendo o sistema temos Utilizando as condições dadas em (condições)

$X_{1}={\frac {s^{2}}{(s^{2}+2)(s^{2}+12)}}=-{\frac {1/5}{s^{2}+2}}+{\frac {6/5}{s^{2}+12}}$

Assim