Usuário(a):Sebastiao.rocha/Esboço2

Estas notas são ainda pessoais e foram motivadas pelo pedido do Nuno de dar uma olhada nos artigos de algebra que ele escreveu. A nota sobre equação quadratica me levou a tentar entender como os matemáticos antigos chegaram a solução do problema. O que mais me intrigava neste assunto era como eles conseguiam somente com palavras, chegar a soluções de equações. Lembre-se eles não tinham nenhuma das noções e notações que possuimos hoje. Expressar coisas como 2*x + 3 já era um problema em si. Além de que expressar equações em palavras só aumentava a complicação do problema.

Sem a idéia de variáveis e de constantes então, como descrever em palavras uma equação como $ax^{2}+bx+c=0$ ? Talvez: 'uma quantidade qualquer multiplicada a um quadrado de um número somado a outra quantidade qualquer multiplicada pelo próprio numero e finalmente soma a uma outra quantidade deve ser zero'? Se você ler rápido a última sentença provavelmente vai ficar perdido pelo meio dela. Imagine então raciocinar nestes termos.

E esta era a situação nos primórdios da matemática. Problemas básicos como o de se expressar de forma simples e coerente ainda não haviam sido resolvidos. Mas nossos antepassados heróicos faziam mais do que isto. Eles resolviam equações quadráticas usando apenas palavras e geometria rudimentar.

No texto original da algebra seu autor Abu Ja'far Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi, ou Al-Khwarizmi, ou apenas Al daqui para frente, descreve uma de suas descobertas. O que ele entendia como quantidades fundamentais (ou o ta-ta-ta-ta-ta-taravô das nossas variáveis):

[Encontrei que existem três tipos:] os quadrados, as raízes e os números.

Ele se referia aos tipos de quantidades de coisas possíveis de se usar para cálculos, não somente números, mas quadrados (áreas) e raizes (o comprimento associado as áreas). Na nossa notação moderna ele estava dizendo que as quantidades importantes se resumiam a:

{\frac {}{}}x^{2}

, isto é os quadrados,

{\frac {}{}}x

, as raizes (dos quadrados),

{\frac {}{}}1,2,3,10

, os números

Sabemos hoje que isto é uma tremenda simplificação do universo de coisas calculáveis, mas sabemos isto graças ao trabalho de pessoas como o Al, que pensaram, e continuam pensando, na matemática nestes últimos 2000 anos. E o Al continua:

Encontrei que existem três tipos de quantidades que podem ser combinadas em três formas possíveis, os quadrados e números iguais a raizes, os quadrados e raizes iguais a números e as raizes e números iguais a quadrados

Traduzindo para a linguaguem moderna ele estava dizendo que sabia reconhecer os três tipos de equações:

x^2 + a = x

x^2 + x = a

a + x = x^2

Como sabemos hoje, são todas equações quadráticas escritas de forma diferente. Novamente o problema da linguagem confundindo o pobre do Al. Mas Al não desiste fácil, e segue em frente para nos mostrar como resolver um dos tipos de equações:

Por exemplo, quadrados e raizes iguais a número: um quadrado e dez raizes da mesma equivale a trinta e nove dinares. Em outras palavras qual o quadrado que acrescentado de dez de suas raizes equivale a trinta e nove?. A solução é: você pega a quantidade de raizes e divide por dois, que neste caso é cinco. Isto você multiplica por si mesmo e o produto é vinte e cinco. Adicione isto a trinta e nove, o resultado é sessenta e quatro. Tire a raiz deste, que é oito e subtraia a metade das raizes, que é cinco. O resultado é três. Esta é a raiz do quadrado que você estava procurando.

Entendeu? (Balance a cabeça de modo afirmativo aqui:)

É isto ai. Matemática como culinária. Uma receita de bolo, ou em termos modernos, um algoritmo (adivinha de onde vem esta palavra) para se chegar a resposta. Muito da literatura matemática antiga se resumia a isto, receitas de soluções de problemas práticos do dia a dia, pura e simplesmente, sem hipóteses, sem demonstrações. Mas Al nos deixou algo mais, ele nos mostrou como se chegar às respostas. Como ele chegava às soluções? A resposta é simples: Geometria. Veja bem, Al não chamava uma de suas quantidades de quadrado apenas por capricho. Para ele a expressão $x^{2}$ era uma imagem clara de uma área, ou quadrado, de lado x. Uma equação para ele era um quebra cabeças geométrico. Resolver um equação era então encontrar alguns quadrados e retângulos, ou combinações, que mostrassem a solução procurada.

Por exemplo, a a equação $(x+b)^{2}$ ( o quadrado de uma soma ) pode ser interpretada geometricamente se desenharmos um quadrado de lados (x+b):

{\frac {}{}}(x+b)^{2}=x^{2}+2bx+b^{2}

Ou com Al nos explicaria:

O quadrado de uma raiz e um número é equivalente ao quadrado adicionado do número multiplicado por ele mesmo acrescentado de duas vezes a raiz multiplicada pelo número

Com esta idéia em mente podemos agora tentar entender como se chega a solução geral para um equação quadratica, reunindo o melhor de dois mundos, a nossa linguagem matemática moderna e os métodos geométricos do velho Al.

Portanto nosso problema é encontrar a solução da equação

{\frac {}{}}ax^{2}+bx+c=0

usando uma motivação geométrica.

Compare a equação acima com a figura. Nossa equação é quase um quadrado de uma soma. Temos um termo quadrado semelhante, ${\frac {}{}}x^{2}$ (exceto pelo fator a multiplicando ) e um termo com ${\frac {}{}}bx$ que se parece com o nosso retângulo na figura acima. Para deixar a semelhança mais óbvia reescrevemos a equação quadrática como:

x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0

Podemos deixar a equação acima mais próxima ainda acrescentando o fator 2 que falta:

x^{2}+2({\frac {b}{2a}})x+{\frac {c}{a}}=0

Uma coisa fica clara, o termo entre parênteses acima e exatamente a largura b do retângulo na figura. Portanto, se pegarmos um quadrado de lado:

(x+{\frac {b}{2a}})

e o expandirmos como fizemos na figura, vamos descobrir que os dois primeiros termos da nossa equação quadrática são equivalentes à área de uma quadrado de lado $(x+{\frac {b}{2a}})$ menos a área de uma pequeno quadrado ${\frac {b}{2a}}$ . Ou em linguagem moderna:

x^{2}+2{\frac {b}{2a}}x=(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}

Nossa equação quadrática esta praticamente resolvida, uma vez que já achamos um quadrado de área $(x+{\frac {b}{2a}})^{2}$ que podemos usar. Em palavras modernas, substituindo o resultado acima na equação quadrática: