Usuário(a):TimAZR/Testes

Números Inteiros

Os números inteiros são constituídos dos números naturais e seus simétricos negativos, podendo ou não incluir o zero. O conjunto de todos os números inteiros é representado pela letra $\mathbb {Z}$ (originada da palavra alemã Zahl).

$\mathbb {Z} =[...-3,-2,-1,1,2,3...]$

Subconjuntos de $\mathbb {Z}$

$\mathbb {Z} ^{*}=$ Conjunto dos inteiros não-nulos $=\mathbb {Z} -[0]$

$\mathbb {Z}$₊ $=$ Conjunto dos inteiros não negativos $=[0,1,2,3...]$

$\mathbb {Z} ^{*}$₊ $=$ Conjunto dos inteiros não negativos, excluindo zero $=[1,2,3...]$

$\mathbb {Z}$_- $=$ Conjunto dos inteiros não positivos $=[...-3,-2,-1,0]$

$\mathbb {Z} ^{*}$_- $=$ Conjunto dos inteiros não positivos, excluindo zero $=[...-3,-2,-1]$

Propriedades Básicas das operações $+$ (adição) e $\cdot$ (multiplicação):

Há diversos campos numéricos verificando as propriedades abaixo. Dizemos que eles têm uma mesma estrutura algébrica, a qual é chamada de anel de integridade. O campo dos inteiros, $[\mathbb {Z} ,+,\cdot ]$, é o mais simples e conhecido dos anéis de integridade, e tem o seguinte conjunto de propriedades básicas:

Para todos $a,b,c\in \mathbb {Z}$:

Fechamento das operações:

• $a+b\in \mathbb {Z}$$\qquad$[a operação $+$ é fechada]
• $a\cdot b\in \mathbb {Z}$$\qquad \qquad$[a operação $\cdot$ é fechada]

Associatividade das operações:

• $a+(b+c)=(a+b)+c$$\qquad \qquad$[associatividade da $+$]
• $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$$\qquad \qquad$[associativa da $\cdot$]

Existência de elemento neutro:

• $a+0=a$$\qquad \qquad$[0 é o elemento neutro da $+$]
• $a\cdot 1=a$$\qquad \qquad$[1 é o elemento neutro da $\cdot$]

Comutatividade:

• $a+b=b+a$$\qquad \qquad$[comutatividade da $+$]
• $a\cdot b=b\cdot a$$\qquad \qquad$[comutatividade da $\cdot$]

Existência de inverso na adição:

• $\exists a'\in \mathbb {Z}$ tal que $a+a'=0$$\qquad \qquad$[$a'$ é o simétrico de $a$]

Distributividade da multiplicação:

• $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$$\qquad \qquad$[distributividade da $\cdot$]

Integridade da multiplicação:

• $a\cdot b=0\Rightarrow$ $a=0$ ou $b=0$$\qquad \qquad$[integridade da $\cdot$]

Demonstrações usando as propriedades básicas

$i)$ Unicidade do elemento neutro da multiplicação

Vamos supor por absurdo que existem dois elementos neutros da multiplicação $1$ e $1'$, com $1\neq 1'$

Como $1$ é elemento neutro da multiplicação, então: $1'\cdot 1=1'$

Como $1'$ é elemento neutro da multiplicação, então: $1\cdot 1'=1$

Temos: $1'=1'\cdot 1=1\cdot 1'=1$ [Comutatividade da multiplicação]

$\qquad \quad \Rightarrow 1'=1$ ABSURDO!!!

Pois $1'$ é diferente de $1$ por hipótese.

Então o elemento neutro da multiplicação é único.

$ii)$ Unicidade do elemento simétrico

Vamos supor que existem dois simétricos $a'$ e $a''$ de $a$, tal que $a'\neq a''$.

$a'=0+a'$ [Existência do elemento neutro]

$\quad =(a+a'')+a'$ [Existência do inverso na adição]

$\quad =a+(a''+a')$ [Associativa]

$\quad =a+(a'+a'')$ [Comutativa]

$\quad =(a+a')+a''$ [Associativa]

$\quad =0+a''=a''$ [Existência do elemento neutro]

Notação para o simétrico de $a$ é $-a$.

Como por hipótese $a'\neq a''$ não podemos ter $a'=a''$, por isso é ABSURDO!

Logo o simétrico da adição é único.

Com isso podemos definir a subtração:

$\qquad a+b'=a+(-b)=a-b$

$iii)$ Multiplicação por $0$

$\qquad 0\cdot a=0$ $\forall a\in \mathbb {Z}$

$\qquad \Rightarrow 0\cdot a=(b-b)a$

$\qquad \Rightarrow 0\cdot a=ab-ab$

$\qquad \Rightarrow 0\cdot a=0$

$iv)$ Distributividade

$(b+c)a=ba+ca$

$(b+c)a=a(b+c)$ [Comutativa]

$\Rightarrow ab+ac=ba+ca$ [Distributiva e Comutativa]

Proposição (leis do cancelamento)

$i)$Sendo $a$ e $b$ números inteiros:

$\qquad a+c=b+c\Rightarrow a=b,$ $\forall c\in \mathbb {Z}$

Observe que, para $x=y,$ $\quad x,y\in \mathbb {Z}$ e $z\in \mathbb {Z}$

Logo temos, $x+z=y+z$ (vem da definição de soma em $\mathbb {N}$)

Agora podemos provar:

$\qquad a+c=b+c$

$\qquad \Rightarrow (a+c)+(-c)=(b+c)+(-c)$

$\qquad \Rightarrow a+(c-c)=b+(c-c)$ [Associatividade]

$\qquad \Rightarrow a+0=b+0$

$\qquad \Rightarrow a=b$

$ii)$ Sendo $a,b$ e $c$ números inteiros

$\qquad a\cdot c=b\cdot c\Rightarrow a=b,$ $\forall c\neq 0$

$\qquad \Rightarrow ac-bc=bc-bc$

$\qquad \Rightarrow ca-cb=0$ [Comutatividade]

$\qquad \Rightarrow c(a-b)=0$ [Distributiva]

Logo $c=0$ ou $a-b=0$, como $c\neq 0$, por hipótese temos:

$\qquad a-b=0$

$\qquad \Rightarrow a-b+b=0+b$

$\qquad a+0=0+b$

$\qquad a=b$

Relação de ordem nos inteiros

Temos que se $a>b$ ou $b<a$ isso significa que $a-b>0$

Com isso os números inteiros ficam divididos em:

$\mathbb {Z} ^{+}=\{0,1,2,3...\}\Rightarrow$ Inteiros não negativos

$\qquad x\in \mathbb {Z} :x\geq 0$

$\mathbb {Z} ^{-}=\{...,-3,-2,-1,0\}\Rightarrow$ Inteiros não positivos

$\qquad x\in \mathbb {Z} :x\leq 0$

$\mathbb {Z} _{*}^{+}=\{1,2,3,...\}\Rightarrow$ Inteiros positivos

$\qquad x\in \mathbb {Z} :x>0$

$\mathbb {Z} _{*}^{-}=\{...,-3,-2,-1\}\Rightarrow$ Inteiros negativos

$\qquad x\in \mathbb {Z} :x<0$

Observação: temos $a>b\Rightarrow a-b>0,$ no caso particular $a-0=a$, temos $a>0$, somente se $a\in \{1,2,3,...\}$

Notação:${\begin{cases}a\geq b(a>b\quad ou\quad a=b)\\a\leq b(a<b\quad ou\quad a=b)\\\end{cases}}$

As relações $<$ e $\leq$ são compatíveis com a adição e a multiplicação, conforme os resultados:

Proposição:

Sendo $a,b,c\in \mathbb {Z}$

$i)$ A relação de ordem é preservada na adição:

$*\quad a<b\Leftrightarrow a+c<b+c,\quad \forall c\in \mathbb {Z}$

$a<b\Rightarrow b-a>0$

$\qquad \Rightarrow b-a+c-c>0$

$\qquad \Rightarrow b+c-a-c>0$

$\qquad \Rightarrow (b+c)-(a+c)>0$

$\qquad \Rightarrow a+c<b+c$

$a+c<b+c\Rightarrow a<b$

$\qquad \qquad \quad \Rightarrow (b+c)-(a+c)>0$

$\qquad \qquad \quad \Rightarrow b+c-a-c>0$

$\qquad \qquad \quad \Rightarrow (b-a)+(c-c)>0$

$\qquad \qquad \quad \Rightarrow b-a>0$

$\qquad \qquad \quad \Rightarrow a<b$

$*\quad a\leq b\Leftrightarrow a+c\leq b+c,\quad \forall c\in \mathbb {Z}$

Esta demonstração é de forma análoga à anterior.

$ii)$ A relação de ordem é preservada na multiplicação por inteiros positivos:

$*\quad a<b\Leftrightarrow a\cdot c<b\cdot c,\quad \forall c\in \mathbb {Z}$

Observe que quando $n>0$

$3n>2n>n>0$ ou seja, $cn>0$, para $c>0$

$a<b\Rightarrow b-a>0$

$\qquad \Rightarrow c(b-a)>0\quad \qquad c>0$

$\qquad \Rightarrow cb-ca>0$

$\qquad \Rightarrow ca<cb$

$ca<cb\Rightarrow a<b$

$\qquad \quad \Rightarrow ca-cb>0$

$\qquad \quad \Rightarrow c(b-a)>0\quad \qquad c>0$

$\qquad \quad \Rightarrow b-a>0$

$\qquad \quad \Rightarrow a<b$

Observe que quando $n>0$

$-3n<-2n<-n<0$, ou seja, $cn<0$, para $c<0$

$a<b\Rightarrow b-a>0$

$\qquad \Rightarrow c(b-a)<0\quad \qquad c<0$

$\qquad \Rightarrow cb-ca<0$

$\qquad \Rightarrow cb<ca$

$a<b\Rightarrow ca>cb$

$\qquad \Rightarrow cb-ca<0$

$\qquad \Rightarrow c(b-a)<0\quad \qquad c<0$

$\qquad \Rightarrow b-a>0$

$\qquad \Rightarrow a<b$

Valor absoluto de um número inteiro

O valor absoluto de um número inteiro $b$ é a distância modular, e é definido como a distância do número até a origem(0):

$|b|={\begin{cases}b\ se\ b\geq 0\\-b\ se\ b<0\\\end{cases}}$

Tomar o valor absoluto de um número inteiro consiste basicamente em deixá-lo inalterado se o número for positivo ou nulo, e apagar seu sinal, caso ele seja negativo.

Exemplo:

$|-2|=2=|2|$,

$|0|=0$

Conceitos básicos de divisibilidade

O divisor de um número inteiro $a$, é todo inteiro $b$ capaz de transformar o inteiro $a$ num produto de inteiros: $a=b.c$ (para algum número inteiro $c$).

Sempre que $b$ for divisor de $a$, também costuma-se empregar as seguintes terminologias alternativas, sinônimas:

$\qquad$"o inteiro $b$ divide $a$", o que pode ser abreviado com a notação: $b|a$ ;

$\qquad$"o inteiro $a$ é múltiplo de $b$"

Exemplo:

Os divisores de $a=4$ são $b=-2,-1,1,2$

Todos eles são não-nulos, e temos respectivamente:

$4=(-2)\cdot (-2),\quad 4=(-1)\cdot (-4),\quad 4=1\cdot 4,\quad 4=2\cdot 2$

Atenção:

• zero só é divisor dele mesmo;
• todos os inteiros são divisores de zero.

Demonstrações

$i)$ Se $b$ é divisor de $a$, então $-b$ também é.

Hipótese: $b\mid a\Rightarrow a=b\cdot c\qquad c\in \mathbb {Z}$

Tese: $-b\mid a\Rightarrow a=-b\cdot d\qquad d\in \mathbb {Z}$

Temos que $a=b\cdot c$

Então $(-1)a=b\cdot c(-1)$

$\Rightarrow (-1)-a=(-1)b\cdot (-c)$

$\Rightarrow a=(-b)\cdot (-c)$, sendo $d=-c$

$\Rightarrow a=-b.d$

$\Rightarrow -b\mid a$

$ii)$ Se $a$ é divisor de $b$ e $b$ é divisor de $a$, então $a=b$

Hipótese: $a\mid b$ e $b\mid a$

Tese: $a=b$

Temos que $a\mid b\Rightarrow b=a\cdot c$, $\qquad c\in \mathbb {Z}$

$\qquad \qquad b\mid a\Rightarrow a=b\cdot d$, $\qquad d\in \mathbb {Z}$

$\Rightarrow b=(b\cdot d)\cdot c\Rightarrow d\cdot c=1$

$\Rightarrow d=c=1$ ou $d=c=-1$

• Para $d=c=1$

$a=b\cdot d\Rightarrow a=b\cdot 1\Rightarrow a=b$

$b=a.c\Rightarrow b=a\cdot 1\Rightarrow b=a$

• Para $d=c=-1$

$a=b\cdot d\Rightarrow a=b\cdot (-1)\Rightarrow a=-b$

$b=a.c\Rightarrow b=a\cdot (-1)\Rightarrow b=-a$

$\Rightarrow b=-(-b)$

$\Rightarrow b=b$

Número primo e números relativamente primos

Como $1,-1,a,-a$ sempre são divisores de cada número inteiro $a\neq 0$, dizemos que eles são os divisores triviais, ou os divisores impróprios, de $a$.

Nos casos em que $a=1$ e $a=-1$, temos exatamente dois divisores triviais. Contudo, em todos os demais casos de $a\neq 0$, temos exatamente quatro divisores triviais.

Número primo é todo inteiro $p\neq 0,\pm 1$ cujos divisores são todos triviais. Isto equivale a dizer que um número primo é todo inteiro $p$ com exatamente quatro divisores: $p,-p,1,-1$.

Número composto é todo inteiro $k\neq 0$ que tem ao menos um divisor não trivial. Isto equivale a dizer que um número composto é todo inteiro $k\neq 0$ com cinco ou mais divisores.

Chamamos de divisor comum de dois ou mais números inteiros, todo inteiro que seja divisor de cada um desses inteiros.

Exemplo:

Os divisores de $8$ são $\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8$, enquanto que os divisores de $12$ são $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 12$. Assim, os divisores comuns de $8$ e $12$ são $\pm 1,\pm 2,\pm 4$.

Dizemos que dois números inteiros são relativamente primos, ou primos entre si se tiverem como divisores comuns apenas os divisores triviais $+1$ e $-1$.

Proposição: todo número primo que não dividir um inteiro $a$ dado, é relativamente primo com $a$. Sendo $p$ um primo dado e $a$ um número inteiro. Temos que os divisores de $p$ são $1$, $-1$, $p$ e $-p$, como $p$ não divide $a$, seus únicos divisores comuns serão $1$ e $-1$.

Máximo divisor comum (mdc)

Chamamos de máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros, o maior dos divisores comuns desses inteiros. A notação $mdc(a,b)$ indicará o máximo divisor comum dos inteiros $a$, $b$.

Exemplo:

Temos $mdc(6,9)=3$, pois os divisores comuns de $6$ e $9$ são $\pm 1$ e $\pm 3$.

Note que:

• o $mdc(a,b)$ sempre existe, a menos que $a=b=0$.

$mdc(0,b)={\begin{Bmatrix}(b),se\quad b\neq 0\\\nexists \quad se\quad b=0\end{Bmatrix}}$

• o conjunto de divisores comuns de qualquer conjunto de dois ou mais números inteiros nunca é vazio (pois $\pm 1$ sempre são divisores comuns deles) e é finito (pois os divisores de $c\neq 0$estão entre $c$ e $-c$).

• o $mdc(a,b)\geq 1$, em particular, sempre é positivo.
• $mdc(a,b)=mdc(-a,b)=mdc(a,-b)=mdc(-a,-b)$.
• Dizer que dois números $a$ e $b$ são primos entre si, é o mesmo que dizer que $mdc(a,b)=1$.

$\rightarrow$ Fatoração: sendo $a=b_{1},b_{2}...b_{n}$, com $a,b_{1},b_{2}...b_{n}$ inteiros, dizemos que $b_{1},b_{2}...b_{n}$ são fatores de $a$ e que $b_{1},b_{2}...b_{n}$é uma fatoração desse $a$.

Ex: $18=2\cdot 9=3\cdot 6=1\cdot 18=2\cdot 3\cdot 3$

Teorema da divisão euclidiana

A ideia da divisão euclidiana consiste em separar um todo em partes iguais. Essa divisão pode ocorrer de forma exata (quando a união dessas partes resulta no número original) ou de forma inexata (quando ocorre o contrário). No contexto dos números inteiros, $a$ corresponde ao todo, e $b$ corresponde a cada uma das partes iguais. Ou seja:

• A divisão exata de $a$ por $b$ equivale a dizer que existe um número inteiro $q$ tal que: $a=q\cdot b$.

$\qquad$Exemplo:

$\qquad \qquad 4=2\cdot 2$

$\qquad \qquad 10=2\cdot 5$

• A divisão inexata de $a$ por $b$ equivale a dizer que existe um número inteiro $q$ tal que: $a=q\cdot b+r$, onde $r$ (resto) é menor que $b$

$\qquad$Exemplo:

$\qquad \qquad 26=2\cdot 9+8$

$\qquad \qquad 21=4\cdot 5+1$

Há apenas uma maneira de fazer uma divisão exata, mas há maneiras diferentes de se fazer uma divisão inexata. Podemos dividí-las em: inexatas por falta (como $17=3\cdot 5+2$) e inexatas por excesso (como $17=4\cdot 5+(-3)$).

Teorema fundamental da aritmética

Este teorema afirma que os números primos funcionam como base para a construção de todo e qualquer número inteiro (exceto $0$ e $\pm 1$), fazendo apenas multiplicações. Este teorema tem uma importância tão grande que é chamado de Teorema Fundamental da Aritmética.

A fatoração em primos de um inteiro $a\neq 0$, $\pm 1$ pode ser escrita de diversas maneiras, como por exemplo:

• Existem primos $p_{1},p_{2},p_{3},...,$possivelmente repetidos, tais que $a=\pm p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}...$.
• Existem primos $p_{1}\leq p_{2}\leq p_{3}\leq ...\leq p_{n}$tais que $a=\pm p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}\cdot ...\cdot p_{n}$.
• Existem primos distintos $p_{1}<p_{2}<p_{3},...<p_{n}$, e respectivos inteiros positivos $j_{1},j_{2},j_{3},...,j_{n}$, tais que $a=\pm p_{1}^{j_{1}}\cdot p_{2}^{j_{2}}\cdot p_{3}^{j_{3}}\cdot ...\cdot p_{n}^{j_{n}}$.

Assim, por exemplo,

$\qquad \qquad -40=-2\cdot 2\cdot 2\cdot 5$

$\qquad \qquad -40=-2^{3}\cdot 5$

$\qquad \qquad 63=3\cdot 3\cdot 7$

$\qquad \qquad 63=3^{2}\cdot 7$

Números complexos

Forma trigonométrica dos números complexos

Representação Trigonométrica

Na representação trigonométrica, um número complexo $z=a+ib$ é determinado pelo módulo do vetor que o representa, e pelo ângulo que faz com o semi-eixo positivo das abscissas.

Um vetor é representado por um segmento de reta orientado, e define grandezas que se caracterizam por:

• Módulo: é expresso pelo comprimento do segmento.
• Direção: é dada pelo ângulo entre a reta suporte e a horizontal.
• Sentido: é dado pela seta.

Quando $z=a+ib$:

• Argumento de $z$ é o ângulo $\theta$
• Módulo de $z$ é o comprimento $r=|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

O argumento geral de $z$ é $\theta +2\pi .k$ ou $\theta +k.360^{\circ }$, o argumento principal é o valor de $\theta$ no intervalo $-\pi <\theta \leq \pi$ ou $-180^{\circ }<\theta \leq 180^{\circ }$.

A partir das relações trigonométricas, obtêm-se:

$\cos \theta ={a \over |z|}$, isto é $a=|z|.\cos \theta$

$\operatorname {sen} \theta ={b \over |z|}$, isto é $b=|z|.\operatorname {sen} \theta$

Portanto, para o número complexo $z=a+ib$$\quad$$\Rightarrow$$\quad$ $z=(|z|.\cos \theta )+i(|z|.\operatorname {sen} \theta )$

Exemplos:

$\quad$1) Se $z$ é um número real, com $|z|=1$, e o ponto P pertence à reta das abcissas,

$\quad$$\quad$Isto é: $\theta =0+2\pi k$ e $|z|=1$

$\quad$$\quad$$z=1$ na forma trigonométrica é $z=\cos 2\pi k+i\operatorname {sen} 2\pi k$, com $k\in \mathbb {Z}$.

$\quad$$\quad$Isso quer dizer que existem infinitas representações trigonométricas para $z$, correspondentes a giros dados em torno da origem.

$\quad$$\quad$Neste caso, $z=1$ pode ser representado por:

$\quad$$\quad$$z=\cos 2\pi .0+i\operatorname {sen} 2\pi .0$$\quad$$\Rightarrow$$\quad$$z=\cos 0+i\operatorname {sen} 0$

$\quad$$\quad$$z=\cos 2\pi .1+i\operatorname {sen} 2\pi .1$$\quad$$\Rightarrow$$\quad$$z=\cos 2\pi +i\operatorname {sen} 2\pi$

$\quad$$\quad$$z=\cos 2\pi .2+i\operatorname {sen} 2\pi .2$$\quad$$\Rightarrow$$\quad$$z=\cos 4\pi +i\operatorname {sen} 4\pi$

$\quad$$\quad$Etc..

$\quad$2) Se $z$ é um número imaginário, com $|z|=1$, e o ponto P pertence à reta das ordenadas,

$\quad$$\quad$Isto é: $\theta ={\frac {1}{2}}\pi +2\pi k$ e $|z|=1$

$\quad$$\quad$$z=i$ na forma trigonométrica é $z=\cos({\frac {1}{2}}\pi +2\pi k)+i\operatorname {sen}({\frac {1}{2}}\pi +2\pi k)$, com $k\in \mathbb {Z}$.

$\quad$$\quad$Como no exemplo anterior, existem infinitas representações trigonométricas para $z$, correspondentes a giros dados em torno da origem.

$\quad$$\quad$Neste caso, $z=i$ pode ser representado por

$\quad$$\quad$$z=\cos({\frac {1}{2}}\pi +2\pi .0)+i\operatorname {sen}({\frac {1}{2}}\pi +2\pi .0)$$\quad$$\Rightarrow$$\quad$$z=\cos {\frac {1}{2}}\pi +i\operatorname {sen} {\frac {1}{2}}\pi$

$\quad$$\quad$$z=\cos({\frac {1}{2}}\pi +2\pi .1)+i\operatorname {sen}({\frac {1}{2}}\pi +2\pi .1)$$\quad$$\Rightarrow$$\quad$$z=\cos {\frac {5}{2}}\pi +i\operatorname {sen} {\frac {5}{2}}\pi$

$\quad$$\quad$$z=\cos({\frac {1}{2}}\pi +2\pi .2)+i\operatorname {sen}({\frac {1}{2}}\pi +2\pi .2)$$\quad$$\Rightarrow$$\quad$$z=\cos {\frac {9}{2}}\pi +i\operatorname {sen} {\frac {9}{2}}\pi$

$\qquad$$\qquad$Etc..

Igualdade de Números Complexos

Dados dois números complexos $z=a+ib$ e $w=c+id$ têm-se, na forma trigonométrica, um argumento geral, sendo:

$\quad$$z=|z|(\cos(\theta +2\pi k)+i\operatorname {sen}(\theta +2\pi k))$

$\quad$$w=|w|(\cos(\alpha +2\pi k)+i\operatorname {sen}(\alpha +2\pi k))$

$\quad$$z=w$$\quad$$\Leftrightarrow$$\quad$$|z|\cos \theta =|w|\cos \alpha$ e $|z|\operatorname {sen} \theta =|w|\operatorname {sen} \alpha$$\quad$$\Leftrightarrow$$\quad$$|z|=|w|$ e $\alpha =\theta +2\pi k$

A igualdade exige que $|z|=|w|$ mas não exige que $\theta =\alpha$, mas sim que os vetores coincidam, na mesma direção, módulo e sentido.

Simétrico de um Número Complexo

O simétrico de um número complexo $z=a+ib$ é o número $-z=-(a+ib)$, ou seja $-z=(-a)+i(-b)$.

Corresponde a uma rotação de 180° em torno da origem, à partir de $z$.

Em notação trigonométrica:

$z=|z|(\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$ e $(-z)=|z|(\cos(\theta +\pi )+i\operatorname {sen}(\theta +\pi ))$

Exemplo:

$z=1+i=|z|(\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )={\sqrt {2}}(\cos {\frac {\pi }{4}}+i\operatorname {sen} {\frac {\pi }{4}})$

$(-z)=-1-i=|z|(\cos(\theta +\pi )+i\operatorname {sen}(\theta +\pi ))={\sqrt {2}}(\cos {\frac {5}{4}}\pi +i\operatorname {sen} {\frac {5}{4}}\pi )$

Conjugado de um Número Complexo

O conjugado de um número complexo $z=a+ib$ é o número ${\bar {z}}=a-ib$.

Corresponde a uma reflexão de $z$ na reta das abcissas.

Em notação trigonométrica:

$z=|z|(\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$ e ${\bar {z}}=|z|(\cos(-\theta )+i\operatorname {sen}(-\theta ))$

Exemplo:

$z=1+i=|z|(\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )={\sqrt {2}}(\cos {\frac {\pi }{4}}+i\operatorname {sen} {\frac {\pi }{4}})$

${\bar {z}}=-1-i=|z|(\cos(-\theta )+i\operatorname {sen}(-\theta ))={\sqrt {2}}(\cos(-{\frac {5}{4}})\pi +i\operatorname {sen}(-{\frac {5}{4}})\pi )$

Produto dos Números Complexos

Seja $z=|z|(\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$ e $w=|w|(\cos \alpha +i\operatorname {sen} \alpha )$, a interpretação geométrica do produto dos números complexos pode seguir os seguintes casos:

O produto de um número complexo Z por um número real K:

$\quad$$\quad$$k.z=k.|z|(\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$

Se $k>1$, então o produto corresponde a uma ampliação do vetor $z$

Exemplo:

$z=1+i=|z|(\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )={\sqrt {2}}(\cos 45^{\circ }+i\operatorname {sen} 45^{\circ })$

$2.z=2+2i=2.|z|(\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )=2{\sqrt {2}}(\cos 45^{\circ }+i\operatorname {sen} 45^{\circ })$

$\quad$

$\quad$

$\quad$

$\quad$$\quad$

Se $0<k<1$, então o produto corresponde a uma contração do vetor $z$

Exemplo:

$z=1+i=|z|(\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )={\sqrt {2}}(\cos 45^{\circ }+i\operatorname {sen} 45^{\circ })$

${\frac {1}{2}}.z={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}i={\frac {1}{2}}.|z|(\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )={\frac {\sqrt {2}}{2}}(\cos 45^{\circ }+i\operatorname {sen} 45^{\circ })$

$\quad$

$\quad$

$\quad$

$\quad$

Se $k<0$, então o produto corresponde a uma ampliação ou contração do vetor $z$, seguida de uma rotação de $180^{\circ }$, pois $z$ passará para a semi reta oposta, que contém $-z$.

Exemplo:

$z=1+i=|z|(\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )={\sqrt {2}}(\cos 45^{\circ }+i\operatorname {sen} 45^{\circ })$

$(-1).z=-(1+1i)=|z|(\cos(\theta +180^{\circ })+i\operatorname {sen}(\theta +180^{\circ }))={\sqrt {2}}(\cos 225^{\circ }+i\operatorname {sen} 225^{\circ })$

$\quad$

$\quad$

$\quad$

O produto de um número complexo Z por um imaginário puro

Dados $z=|z|(\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$ e $w=|w|(\cos 90^{\circ }+i\operatorname {sen} 90^{\circ })$,

$\quad$$\quad$$z.w=|z|(\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )|w|(\cos 90^{\circ }+i\operatorname {sen} 90^{\circ })$

$\quad$$\quad$$z.w=|z||w|[(\cos \theta .\cos 90^{\circ }-\operatorname {sen} \theta .\cos 90^{\circ })+i(\cos \theta .\cos 90^{\circ }+\operatorname {sen} \theta .\cos 90^{\circ })$

A partir desta etapa, é necessário utilizar a expressão trigonométrica da soma dos ângulos dos senos e cossenos:

$\quad$$\quad$$\cos(\theta +\alpha )=\cos \theta .\cos \alpha -\operatorname {sen} \theta .\operatorname {sen} \alpha$

$\quad$$\quad$$\operatorname {sen}(\theta +\alpha )=\cos \theta .\operatorname {sen} \alpha +\cos \alpha .\operatorname {sen} \theta$

Logo,

$\quad$$\quad$$\cos(\theta +90^{\circ })=\cos \theta .\cos 90^{\circ }-\operatorname {sen} \theta .\operatorname {sen} 90^{\circ }$

$\quad$$\quad$$\operatorname {sen}(\theta +90^{\circ })=\cos \theta .\operatorname {sen} 90^{\circ }+\cos 90^{\circ }.\operatorname {sen} \theta$

Então,

$\quad$$\quad$$z.w=|z||w|[(\cos \theta .\cos 90^{\circ }-\operatorname {sen} \theta .\cos 90^{\circ })+i(\cos \theta .\cos 90^{\circ }+\operatorname {sen} \theta .\cos 90^{\circ })$

$\quad$$\quad$$\quad$$\quad$$=|z||w|(\cos(\theta +90^{\circ })+i\operatorname {sen}(\theta +90^{\circ }))$

O produto de um número complexo por um número imaginário puro corresponde a uma ampliação ou contração do vetor, seguido de uma rotação de $90^{\circ }$ no sentido anti-horário, em torno da origem do vetor obtido.

(colocar gif)

O produto de um número complexo genérico Z por um outro número complexo W

Dados $z=|z|(\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$ e $w=|w|(\cos \alpha +i\operatorname {sen} \alpha )$,

$\quad$$\quad$$z.w=|z|(\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )|w|(\cos \alpha +i\operatorname {sen} \alpha )$

$\quad$$\quad$$z.w=|z||w|[(\cos \theta .\cos \alpha -\operatorname {sen} \theta .\cos \alpha )+i(\cos \theta .\cos \alpha +\operatorname {sen} \theta .\cos \alpha )$

Assim como no caso anterior, é necessário utilizar a soma dos angulos dos senos e cossenos.

Logo,

$\quad$$\quad$$z.w=|z||w|(\cos(\theta +\alpha )+i\operatorname {sen}(\theta +\alpha ))$

O produto de um número complexo $z$ por outro número complexo $w$ corresponde a uma ampliação ou contração do vetor, seguido de uma rotação do ângulo igual ao argumento do vetor $w$ no sentido anti-horário em torno da origem do vetor obtido.

(colocar gif)

Soma dos Números Complexos

A soma de números complexos corresponde à soma dos vetores complexos associados a esses números.

Dados quaisquer números reais $z$ (de vetor ${\vec {OA}}$) e $w$ (de vetor ${\vec {OB}}$), a soma $z+w$ tem como representação vetorial o vetor ${\vec {OC}}$, dado por ${\vec {OA}}+{\vec {OB}}={\vec {OC}}$.

Exemplos:

$z={\vec {OA}}=1+3i$

$w={\vec {OB}}=5+1i$

$z+w={\vec {OA}}+{\vec {OB}}={\vec {OC}}=6+4i$

$\quad$

$\quad$$\quad$

$\quad$

$\quad$

$z={\vec {OA}}=-2+2i$

$w={\vec {OB}}=4+2i$

$z+w={\vec {OA}}+{\vec {OB}}={\vec {OC}}=2+4i$$\quad$

$\quad$

$\quad$

$\quad$

$\quad$

$z={\vec {OA}}=-2+2i$

$w={\vec {OB}}=4-1i$

$z+w={\vec {OA}}+{\vec {OB}}={\vec {OC}}=2+1i$

$\quad$

$\quad$

Geometria Analítica

Produtos de Vetores

Norma e produto escalar

O comprimento de um vetor ${\overrightarrow {v}}$ é definido como sendo o comprimento de qualquer um dos segmentos orientados que o representam. O comprimento do vetor ${\overrightarrow {v}}$ tambem é chamado de norma de ${\overrightarrow {v}}$ e é denotado por $|{\overrightarrow {v}}|$. A norma de um vetor pode ser calculada usando o Teorema de Pitágoras, sendo $|{\overrightarrow {v}}|={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}}$ caso ${\overrightarrow {v}}=(v_{1},v_{2})$ seja um vetor no plano e $|{\overrightarrow {v}}|={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}$ caso ${\overrightarrow {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})$ seja um vetor no espaço.

A distância entre dois pontos do plano, $P=(x_{1},y_{1})$ e $Q=(x_{2},y_{2})$ é igual a norma do vetor ${\overrightarrow {PQ}}$. Como ${\overrightarrow {PQ}}=Q-P=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})$, a distância de $P$ a $Q$ é dada por $dist(P,Q)=|{\overrightarrow {PQ}}|={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

Exemplo:

Dados os pontos do plano $P=(0,0)$ e $Q=(4,2)$

A distância entre os pontos é igual a norma do vetor ${\overrightarrow {PQ}}$

$dist(P,Q)=|{\overrightarrow {PQ}}|$

${\overrightarrow {PQ}}=(4-0,2-0)$

$|{\overrightarrow {PQ}}|={\sqrt {(4-0)^{2}+(2-0)^{2}}}$

$dist(P,Q)={\sqrt {(4-0)^{2}+(2-0)^{2}}}$

$dist(P,Q)={\sqrt {(4^{2}+2^{2})}}$

$dist(P,Q)={\sqrt {(16+4)}}$

$dist(P,Q)={\sqrt {(20)}}$

$dist(P,Q)=2{\sqrt {5}}$

A distância entre dois pontos no espaço, $P=(x_{1},y_{1},z_{1})$ e $Q=(x_{2},y_{2},z_{2})$ é igual à norma do vetor ${\overrightarrow {PQ}}$. Como ${\overrightarrow {PQ}}=Q-P=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1})$, então a distância de $P$ a $Q$ é dada por $dist(P,Q)=|{\overrightarrow {PQ}}|={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}$.

(Colocar Imagem)

O produto escalar de dois vetores ${\overrightarrow {u}}$ e ${\overrightarrow {v}}$ é definido por:

${\overrightarrow {u}}.{\overrightarrow {v}}={\begin{cases}0,&{\text{ se }}{\overrightarrow {u}}{\text{ ou }}{\overrightarrow {v}}{\text{ é o vetor nulo}}\\|{\overrightarrow {u}}||{\overrightarrow {v}}|cos\theta ,&{\text{ caso nenhum deles seja nulo}}\end{cases}}$,(sendo $\theta$ o ângulo entre eles).

Quando os vetores são dados em termos das suas componentes, não há como sabermos diretamente o ângulo entre eles. Para descobrir, é necessário uma forma de calcular o produto escalar que não necessite do ângulo entre os vetores.

Se ${\overrightarrow {u}}$ e ${\overrightarrow {v}}$ são vetores não nulos e $\theta$ é o ângulo entre eles, então pela lei dos cossenos,

$|{\overrightarrow {u}}-{\overrightarrow {v}}|^{2}=|{\overrightarrow {u}}|^{2}+|{\overrightarrow {v}}|^{2}-2|{\overrightarrow {u}}||{\overrightarrow {v}}|cos\theta$

Assim,

${\overrightarrow {u}}.{\overrightarrow {v}}=|{\overrightarrow {u}}||{\overrightarrow {v}}|cos\theta ={\frac {1}{2}}(|{\overrightarrow {u}}|^{2}+|{\overrightarrow {v}}|^{2}-|{\overrightarrow {u}}-{\overrightarrow {v}}|^{2})$.

Substituindo-se as coordenadas dos vetores, obtemos uma expressão mais simples para o cálculo do produto interno.

Sendo ${\vec {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})$ e ${\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})$ são vetores no espaço, então substituindo-se $|{\vec {v}}|^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}$, $|{\vec {u}}|^{2}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}$ e $|{\vec {v}}-{\vec {u}}|^{2}=(v_{1}-u_{1})^{2}+(v_{2}-u_{2})^{2}+(v_{3}-u_{3})^{2}$,

obtemos,

$\quad$${\overrightarrow {u}}.{\overrightarrow {v}}={\frac {1}{2}}(|{\overrightarrow {u}}|^{2}+|{\overrightarrow {v}}|^{2}-|{\overrightarrow {u}}-{\overrightarrow {v}}|^{2})$

$\Rightarrow$${\overrightarrow {u}}.{\overrightarrow {v}}={\frac {1}{2}}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}+v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}-((u_{1}-v_{1})^{2}+(u_{2}-v_{2})^{2}+(u_{3}-v_{3})^{2}))$

$\Rightarrow$${\overrightarrow {u}}.{\overrightarrow {v}}={\frac {1}{2}}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}+v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}-(u_{1}^{2}-2u_{1}v_{1}+v_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2u_{2}v_{2}+v_{2}^{2}+u_{3}^{2}-2u_{3}v_{3}+v_{3}^{2})$

$\Rightarrow$${\overrightarrow {u}}.{\overrightarrow {v}}={\frac {1}{2}}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}+v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}-u_{1}^{2}+2u_{1}v_{1}-v_{1}^{2}-u_{2}^{2}+2u_{2}v_{2}-v_{2}^{2}-u_{3}^{2}+2u_{3}v_{3}-v_{3}^{2})$

$\Rightarrow$${\overrightarrow {u}}.{\overrightarrow {v}}={\frac {1}{2}}(2u_{1}v_{1}+2u_{2}v_{2}+2u_{3}v_{3})$

$\Rightarrow$${\overrightarrow {u}}.{\overrightarrow {v}}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}$.

$\quad$

O produto escalar, ${\overrightarrow {u}}.{\overrightarrow {v}}$ de dois vetores é dado por

$\quad$$\quad$$\quad$$\quad$$\quad$${\overrightarrow {u}}.{\overrightarrow {v}}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}$,

se ${\overrightarrow {u}}=(u_{1},u_{2})$ e ${\overrightarrow {v}}=(v_{1},v_{2})$ são vetores no plano e por

$\quad$$\quad$$\quad$$\quad$$\quad$${\overrightarrow {u}}.{\overrightarrow {v}}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}$

se ${\overrightarrow {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})$ e ${\overrightarrow {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})$ são vetores no espaço.

$\quad$

Sejam ${\overrightarrow {u}}$,${\overrightarrow {v}}$ e ${\overrightarrow {w}}$ vetores e $\alpha$ um escalar. São válidas as seguintes propriedades:

Comutatividade: ${\overrightarrow {u}}.{\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {v}}.{\overrightarrow {u}}$

Demonstração:

$\quad {\overrightarrow {u}}.{\overrightarrow {v}}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}$$=v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}$$={\overrightarrow {v}}.{\overrightarrow {u}}$

Distributividade: ${\overrightarrow {u}}.({\overrightarrow {v}}+{\overrightarrow {w}})={\overrightarrow {u}}.{\overrightarrow {v}}+{\overrightarrow {u}}.{\overrightarrow {w}}$

Demonstração:$\quad {\overrightarrow {u}}.({\overrightarrow {v}}+{\overrightarrow {w}})=(u_{1}u_{2}).(v_{1}+w_{1},v_{2}+w_{2})=u_{1}.(v_{1}+w_{1})+u_{2}.(v_{2}+w_{2})=(u_{1}v_{1}+u_{1}w_{1})+(u_{2}v_{2}+u_{2}w_{2})=(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2})+(u_{1}w_{1}+u_{2}w_{2})={\overrightarrow {u}}.{\overrightarrow {v}}+{\overrightarrow {u}}.{\overrightarrow {w}}$

Associatividade: $\alpha ({\overrightarrow {u}}.{\overrightarrow {v}})=(\alpha {\overrightarrow {u}}).{\overrightarrow {v}}=(\alpha {\overrightarrow {v}}).{\overrightarrow {u}}$

Demonstração:

$\quad \alpha .({\overrightarrow {u}}.{\overrightarrow {v}})=\alpha .(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2})=(\alpha u_{1}).v_{1}+(\alpha u_{2}).v_{2}=(\alpha {\overrightarrow {u}}).{\overrightarrow {v}}=(\alpha {\overrightarrow {v}}).{\overrightarrow {u}}$

Projeção Ortogonal

Dados dois vetores ${\overrightarrow {v}}$ e ${\overrightarrow {w}}$, a projeção ortogonal de ${\overrightarrow {v}}$ sobre ${\overrightarrow {w}}$, denotada por $proj_{\overrightarrow {w}}^{\overrightarrow {v}}$, é o vetor que é paralelo a ${\overrightarrow {w}}$ tal que ${\overrightarrow {v}}-proj_{\overrightarrow {w}}^{\overrightarrow {v}}$ seja ortogonal a ${\overrightarrow {w}}$.

Seja ${\overrightarrow {w}}$ um vetor não nulo. Então, a projeção ortogonal de um vetor ${\overrightarrow {v}}$ em ${\overrightarrow {w}}$ é dada por $proj_{\overrightarrow {w}}^{\overrightarrow {v}}=\left({\frac {{\overrightarrow {v}}.{\overrightarrow {w}}}{|{\overrightarrow {w}}|^{2}}}\right).{\overrightarrow {w}}$

Demonstração:

Sejam ${\overrightarrow {v}}_{1}=proj_{\overrightarrow {w}}^{\overrightarrow {v}}$ e ${\overrightarrow {v}}_{2}={\overrightarrow {v}}-proj_{\overrightarrow {w}}^{\overrightarrow {v}}$. Como ${\overrightarrow {v}}_{1}$ é paralelo a ${\overrightarrow {w}}$, então

$\qquad {\overrightarrow {v}}_{1}=\alpha {\overrightarrow {w}}$. Assim, ${\overrightarrow {v}}_{2}={\overrightarrow {v}}-\alpha {\overrightarrow {w}}$

Multiplicando-se escalarmente ${\overrightarrow {v}}_{2}$ por ${\overrightarrow {w}}$, obtemos

$\qquad {\overrightarrow {v}}_{2}.{\overrightarrow {w}}=({\overrightarrow {v}}-\alpha {\overrightarrow {w}}).{\overrightarrow {w}}={\overrightarrow {v}}.{\overrightarrow {w}}-\alpha |{\overrightarrow {w}}|^{2}$

${\overrightarrow {v}}_{2}$ é ortogonal a ${\overrightarrow {w}}$, então ${\overrightarrow {v}}_{2}.{\overrightarrow {w}}=0$. Portanto

$\qquad \alpha ={\frac {{\overrightarrow {v}}.{\overrightarrow {w}}}{|{\overrightarrow {w}}|^{2}}}$

Substituindo na equação ${\overrightarrow {v}}_{1}=\alpha {\overrightarrow {w}}$, obtemos

$\qquad proj_{\overrightarrow {w}}^{\overrightarrow {v}}=\left({\frac {{\overrightarrow {v}}.{\overrightarrow {w}}}{|{\overrightarrow {w}}|^{2}}}\right).{\overrightarrow {w}}$

Exemplo:

Sejam ${\overrightarrow {v}}=(2,-1,3)$ e ${\overrightarrow {w}}=(4,-1,2)$. Encontrar dois vetores ${\overrightarrow {v}}_{1}$ e ${\overrightarrow {v}}_{2}$ tais que ${\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {v}}_{1}+{\overrightarrow {v}}_{2}$, ${\overrightarrow {v}}_{1}$ é paralelo a ${\overrightarrow {w}}$ e ${\overrightarrow {v}}_{2}$ é perpendicular a ${\overrightarrow {w}}$.

$\qquad {\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {w}}=2\cdot 4+(-1)\cdot (-1)+3\cdot 2=8+1+6=15$

$\qquad |{\overrightarrow {w}}|^{2}=4^{2}+(-1)^{2}+2^{2}=16+1+4=21$

$\qquad {\overrightarrow {v}}_{1}=proj_{\overrightarrow {w}}^{\overrightarrow {v}}=\left({\frac {{\overrightarrow {v}}.{\overrightarrow {w}}}{|{\overrightarrow {w}}|^{2}}}\right).{\overrightarrow {w}}=\left({\frac {15}{21}}\right).(4,-1,2)=\left({\frac {60}{21}},-{\frac {15}{21}},{\frac {30}{21}}\right)=\left({\frac {20}{7}},-{\frac {5}{7}},{\frac {10}{7}}\right)$

$\qquad {\overrightarrow {v}}_{2}={\overrightarrow {v}}-{\overrightarrow {v}}_{1}=(2,-1,3)-\left({\frac {20}{7}},-{\frac {5}{7}},{\frac {10}{7}}\right)=\left(-{\frac {6}{7}},-{\frac {2}{7}},{\frac {11}{7}}\right)$

Produto Vetorial

Sejam ${\overrightarrow {v}}$ e ${\overrightarrow {w}}$ dois vetores no espaço, definimos o produto vetorial ${\overrightarrow {v}}$ e ${\overrightarrow {w}}$, como sendo o vetor com as seguintes características.

• A norma de ${\overrightarrow {v}}\times {\overrightarrow {w}}$ é igual à área do paralelogramo determinado por ${\overrightarrow {v}}$ e ${\overrightarrow {w}}$ .

$\qquad \qquad |{\overrightarrow {v}}\times {\overrightarrow {w}}|=|{\overrightarrow {v}}|\cdot |{\overrightarrow {w}}|.\operatorname {sen} \theta$

• Tem direção perpendicular a ${\overrightarrow {v}}$ e a ${\overrightarrow {w}}$
• Tem o sentido dado pela regra da mão direita. Se o ângulo entre ${\overrightarrow {v}}$ (dedo médio) e ${\overrightarrow {w}}$ (dedo indicador) é $\theta$, giramos o vetor ${\overrightarrow {v}}$ de um ângulo $\theta$ até que coincida com ${\overrightarrow {w}}$ e acompanhamos este movimento com os dedos da mão direita, então o polegar vai apontar no sentido de ${\overrightarrow {v}}\times {\overrightarrow {w}}$.

Regra da mão direita

Sejam ${\overrightarrow {u}}$,${\overrightarrow {v}}$ e ${\overrightarrow {w}}$ vetores e $\alpha$ um escalar. São válidas as seguintes propriedades:

• ${\overrightarrow {v}}\times {\overrightarrow {w}}=-({\overrightarrow {w}}\times {\overrightarrow {v}})$

$\qquad \qquad$${\overrightarrow {v}}\times {\overrightarrow {w}}$ e ${\overrightarrow {w}}\times {\overrightarrow {v}}$ têm o mesmo comprimento e direção, porém, sentidos diferentes.

• ${\overrightarrow {v}}\times {\overrightarrow {w}}=0$ se, e somente se, ${\overrightarrow {v}}=\alpha {\overrightarrow {w}}$ ou ${\overrightarrow {w}}=\alpha {\overrightarrow {v}}$

$\qquad \qquad$$|{\overrightarrow {v}}\times {\overrightarrow {w}}|=0$ se, e somente se, um deles é vetor nulo ou $\operatorname {sen} \theta =0$, em que $\theta$ é o ângulo entre ${\overrightarrow {v}}$ e ${\overrightarrow {w}}$, ou seja, ${\overrightarrow {v}}$ e ${\overrightarrow {w}}$ são paralelos.

• $({\overrightarrow {v}}\times {\overrightarrow {w}})\cdot {\overrightarrow {v}}=({\overrightarrow {v}}\times {\overrightarrow {w}})\cdot {\overrightarrow {w}}=0$
• $\alpha ({\overrightarrow {v}}\times {\overrightarrow {w}})=(\alpha {\overrightarrow {v}})\times {\overrightarrow {w}}={\overrightarrow {v}}\times (\alpha {\overrightarrow {w}})$
• ${\overrightarrow {v}}\times ({\overrightarrow {w}}+{\overrightarrow {u}})={\overrightarrow {v}}\times {\overrightarrow {w}}+{\overrightarrow {v}}\times {\overrightarrow {u}}$ e $({\overrightarrow {v}}+{\overrightarrow {w}})\times {\overrightarrow {u}}={\overrightarrow {v}}\times {\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {w}}\times {\overrightarrow {u}}$

$\quad$

Vetores unitários são vetores paralelos aos eixos coordenados, de norma igual a um.

Todo vetor ${\overrightarrow {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})$ pode ser escrito como uma soma de múltiplos escalares de ${\overrightarrow {i}}$,${\overrightarrow {j}}$ e ${\overrightarrow {k}}$ (combinação linear), pois

${\overrightarrow {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})=(v_{1},0,0)+(0,v_{2},0)+(0,0,v_{3})=v_{1}(1,0,0)+v_{2}(0,1,0)+v_{3}(0,0,1)=v_{1}{\overrightarrow {i}}+v_{2}{\overrightarrow {j}}+v_{3}{\overrightarrow {k}}$.

Da definição do produto vetorial, obtêm-se as seguintes relações:

$\quad {\overrightarrow {i}}\times {\overrightarrow {i}}=0$, $\quad {\overrightarrow {j}}\times {\overrightarrow {j}}=0$, $\quad {\overrightarrow {k}}\times {\overrightarrow {k}}=0$

$\quad {\overrightarrow {i}}\times {\overrightarrow {j}}={\overrightarrow {k}}$, $\quad {\overrightarrow {j}}\times {\overrightarrow {k}}={\overrightarrow {i}}$, $\quad {\overrightarrow {k}}\times {\overrightarrow {i}}={\overrightarrow {j}}$

$\quad {\overrightarrow {j}}\times {\overrightarrow {i}}=-{\overrightarrow {k}}$, $\quad {\overrightarrow {k}}\times {\overrightarrow {j}}=-{\overrightarrow {i}}$, $\quad {\overrightarrow {i}}\times {\overrightarrow {k}}=-{\overrightarrow {j}}$

Sejam ${\overrightarrow {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})$ e ${\overrightarrow {w}}=(w_{1},w_{2},w_{3})$ vetores no espaço, então o produto vetorial ${\overrightarrow {v}}\times {\overrightarrow {w}}$ é dado por

$\qquad {\overrightarrow {v}}\times {\overrightarrow {w}}={\begin{bmatrix}i&j&k\\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}$

Demonstração:

$\qquad {\overrightarrow {v}}=v_{1}{\overrightarrow {i}}+v_{2}{\overrightarrow {j}}+v_{3}{\overrightarrow {k}}$ e ${\overrightarrow {w}}=w_{1}{\overrightarrow {i}}+w_{2}{\overrightarrow {j}}+w_{3}{\overrightarrow {k}}$

$\qquad {\overrightarrow {v}}\times {\overrightarrow {w}}=(v_{1}{\overrightarrow {i}}+v_{2}{\overrightarrow {j}}+v_{3}{\overrightarrow {k}})\times (w_{1}{\overrightarrow {i}}+w_{2}{\overrightarrow {j}}+w_{3}{\overrightarrow {k}})$

$\qquad \qquad \quad =v_{1}w_{1}({\overrightarrow {i}}\times {\overrightarrow {i}})+v_{1}w_{2}({\overrightarrow {i}}\times {\overrightarrow {j}})+v_{1}w_{3}({\overrightarrow {i}}\times {\overrightarrow {k}})+v_{2}w_{1}({\overrightarrow {j}}\times {\overrightarrow {i}})+v_{2}w_{2}({\overrightarrow {j}}\times {\overrightarrow {j}})+v_{2}w_{3}({\overrightarrow {j}}\times {\overrightarrow {k}})+v_{3}w_{1}({\overrightarrow {k}}\times {\overrightarrow {i}})+v_{3}w_{2}({\overrightarrow {k}}\times {\overrightarrow {j}})+v_{3}w_{3}({\overrightarrow {k}}\times {\overrightarrow {k}})$

$\qquad \qquad \quad =v_{1}w_{2}({\overrightarrow {i}}\times {\overrightarrow {j}})+v_{1}w_{3}({\overrightarrow {i}}\times {\overrightarrow {k}})+v_{2}w_{1}({\overrightarrow {j}}\times {\overrightarrow {i}})+v_{2}w_{3}({\overrightarrow {j}}\times {\overrightarrow {k}})+v_{3}w_{1}({\overrightarrow {k}}\times {\overrightarrow {i}})+v_{3}w_{2}({\overrightarrow {k}}\times {\overrightarrow {j}})$ (pois por definição ${\overrightarrow {i}}\times {\overrightarrow {i}}={\overrightarrow {j}}\times {\overrightarrow {j}}={\overrightarrow {k}}\times {\overrightarrow {k}}=0$)

$\qquad \qquad \quad =(v_{1}w_{2}){\overrightarrow {k}}+(v_{1}w_{3})(-{\overrightarrow {j}})+(v_{2}w_{1})(-{\overrightarrow {k}})+(v_{2}w_{3}){\overrightarrow {i}}+(v_{3}w_{1}){\overrightarrow {j}}+(v_{3}w_{2})(-{\overrightarrow {i}})$

$\qquad \qquad \quad =(v_{2}w_{3}-v_{3}w_{2}){\overrightarrow {i}}+(v_{3}w_{1}-v_{1}w_{3}){\overrightarrow {j}}+(v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1}){\overrightarrow {k}}$

$\qquad \qquad \quad ={\begin{bmatrix}i&j&k\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{bmatrix}}$

Exemplo:

Sejam ${\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {i}}+2{\overrightarrow {j}}-2{\overrightarrow {k}}$ e ${\overrightarrow {w}}=3{\overrightarrow {i}}+{\overrightarrow {k}}$

$\qquad {\overrightarrow {v}}\times {\overrightarrow {w}}={\begin{bmatrix}i&j&k\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{bmatrix}}$

$\qquad \qquad \quad ={\begin{bmatrix}i&j&k\\1&2&-2\\3&0&1\end{bmatrix}}$

$\qquad \qquad \quad =(2-0){\overrightarrow {i}}+(-6-1){\overrightarrow {j}}+(0-6){\overrightarrow {k}}$

$\qquad \qquad \quad =2{\overrightarrow {i}}-7{\overrightarrow {j}}-6{\overrightarrow {k}}=(2,-7,-6)$

Produto Misto

O produto misto de ${\overrightarrow {u}}$, ${\overrightarrow {v}}$ e ${\overrightarrow {w}}$ é o produto ${\overrightarrow {u}}\cdot ({\overrightarrow {v}}\times {\overrightarrow {w}})$.

Sejam ${\overrightarrow {u}}=(u_{1}{\overrightarrow {i}},u_{2}{\overrightarrow {j}},u_{3}{\overrightarrow {k}})$, ${\overrightarrow {v}}=(v_{1}{\overrightarrow {i}},v_{2}{\overrightarrow {j}},v_{3}{\overrightarrow {k}})$ e ${\overrightarrow {w}}=(w_{1}{\overrightarrow {i}},w_{2}{\overrightarrow {j}},w_{3}{\overrightarrow {k}})$. Então o produto misto

$\qquad {\overrightarrow {u}}\cdot ({\overrightarrow {v}}\times {\overrightarrow {w}})={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{bmatrix}}$

Exemplo:

O produto misto dos vetores ${\overrightarrow {u}}=2{\overrightarrow {i}}-{\overrightarrow {j}}+3{\overrightarrow {k}}$, ${\overrightarrow {v}}=-{\overrightarrow {i}}+4{\overrightarrow {j}}+{\overrightarrow {k}}$ e ${\overrightarrow {w}}=5{\overrightarrow {i}}+{\overrightarrow {j}}-2{\overrightarrow {k}}$ é

$\qquad {\overrightarrow {u}}\cdot ({\overrightarrow {v}}\times {\overrightarrow {w}})={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{bmatrix}}$

$\qquad \qquad \qquad \quad ={\begin{bmatrix}2&-1&3\\-1&4&1\\5&1&-2\end{bmatrix}}$

$\qquad \qquad \qquad \quad =(-16-2)+(-5-(-2))+(-3-60)$

$\qquad \qquad \qquad \quad =-18-3-63=-84$

$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$

Dados três vetores no espaço ${\overrightarrow {u}}$, ${\overrightarrow {v}}$ e ${\overrightarrow {w}}$,

$|{\overrightarrow {u}}\cdot ({\overrightarrow {v}}\times {\overrightarrow {w}})|$ é o volume do paralelepípedo determinado por ${\overrightarrow {u}}$, ${\overrightarrow {v}}$ e ${\overrightarrow {w}}$.

(colocar imagem)

Exemplo:

Sejam ${\overrightarrow {u}}=3{\overrightarrow {i}}+3{\overrightarrow {j}}+4{\overrightarrow {k}}$, ${\overrightarrow {v}}=4{\overrightarrow {i}}-{\overrightarrow {j}}-3{\overrightarrow {k}}$ e ${\overrightarrow {w}}=2{\overrightarrow {i}}+5{\overrightarrow {j}}+{\overrightarrow {k}}$.

$\qquad volume=|{\overrightarrow {u}}\cdot ({\overrightarrow {v}}\times {\overrightarrow {w}})|$

$\qquad \qquad \quad ={\begin{Vmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{Vmatrix}}$

$\qquad \qquad \quad ={\begin{Vmatrix}3&3&4\\4&-1&-3\\2&5&1\end{Vmatrix}}$

$\qquad \qquad \quad =|(-3-(-45))+(-18-12)+(80-(-8))|$

$\qquad \qquad \quad =|42-30+88|$

$\qquad \qquad \quad =|100|=100$

$\quad$

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