Usuário:Gildemar Felix/Testes/IntervaloInterquartil

Definição formal

Definir intervalo interquartil é necessário o entendimento sobre quartil e para a definição aqui apresentada é utilizado o conceito de mediana para determinar os quartis ($Q_{1},Q_{2}$ e $Q_{3}$) e, no conjunto de dados existe o caso para um quantidade ímpar ou par para determinar a posição dos quartis. Somente é possível determinar a posição dos quartis se os dados de um conjunto finito de dados qualquer estiver ordenado.

Quartil, quantidade par de elementos

A mediana de um conjunto de dados $\theta =\{d_{1},d_{2},...,d_{n}\}$ é a posição $d_{i}$ que divide igualmente o conjunto $\theta$ em dois grupos, cada um com 50% dos dados. Em $\theta$, $d_{1},d_{2},...,d_{n}$ são as posições dos elementos. Então, $d_{i}$ é a posição que marca o segundo quartil. Pela definição de mediana para o caso de um conjunto de dados com quantidade par de elementos, a posição $d_{i}$ está entre as posições $d_{i-1}$ e $d_{i+1}$ obtida pelo cálculo $d_{i}={\frac {d_{i-1}+d_{i+1}}{2}}$, nesse caso, existem elementos de $\theta$ que ocupam as posições $d_{i-1}$ e $d_{i+1}$ e, esses elementos devem substituir $d_{i-1}$ e $d_{i+1}$ no cálculo de $d_{i}$.

Ao determinar $d_{i}$, o conjunto $\theta$ passa a ter uma mediana definida, então $\theta =\{d_{1},d_{2},...,d_{i-1},{\color {maroon}d_{i}},d_{i+1},...,d_{n}\}$, $\color {maroon}d_{i}$ é uma posição obtida pela média dos elementos $d_{i-1}$ e $d_{i+1}$, ou seja, $\color {maroon}d_{i}$ não é um elemento novo de $\theta$. Os grupos formados a partir do segundo quartil ($d_{i}$) são $A=(d_{1},d_{2},...,d_{i-1})=(a_{1},a_{2},...,a_{g})$ e $B=(d_{i+1},...,d_{n})=(b_{1},...,b_{h})$.

1. Se $A$ e $B$ conter uma quantidade par de elementos, é realizado o mesmo processo de $d_{i}$ para determinar o primeiro e o terceiro quartil. Então, a posição $d_{j}$ do grupo $A$ determina o primeiro quartil pelo cálculo $d_{j}={\frac {d_{j-1}+d_{j+1}}{2}}$ . Ou seja, $A=(d_{1},d_{2},...,d_{j-1},{\color {Blue}d_{j}},d_{j+1},...,d_{i-1})$. Analogamente para o grupo $B$, a posição $d_{l}$ determina o terceiro quartil pelo cálculo $d_{l}={\frac {d_{l-1}+d_{l+1}}{2}}$ e então $B=(d_{i+1},...,d_{l-1},{\color {green}d_{l}},d_{l+1},...,d_{n})$.
2. Se $A$ e $B$ conter uma quantidade ímpar de elementos, pela definição de mediana, o primeiro quartil é calculado por $d_{j}={\frac {a_{g}+1}{2}}$, nesse caso é utilizado o valor posicional e não é utilizado o valor numérico do elemento de $\theta$ para a posição $a_{g}$ e, o terceiro quartil é calculado a partir da quantidade do grupo $B$ por $d_{l}={\frac {b_{h}+1}{2}}$, também nesse caso é utilizado o valor posicional e não é utilizado o valor numérico do elemento de $\theta$ para a posição $b_{h}$.

O conjunto de dados $\theta$ tem as posições $d_{j}$ para o primeiro quartil, $d_{i}$ para o segundo quartil e $d_{l}$ para o terceiro quartil e, mais usualmente em notações para o primeiro, segundo e terceiro quartil, respectivamente $Q_{1},Q_{2}$ e $Q_{3}$.

Quartil, quantidade ímpar de elementos

A mediana de um conjunto de dados ${\bar {\theta }}=\{e_{1},e_{2},...,e_{n}\}$ é a posição $e_{i}$ que divide igualmente o conjunto ${\bar {\theta }}$ em dois grupos, cada um com 50% dos dados. Em ${\bar {\theta }}$, $e_{1},e_{2},...,e_{n}$ são as posições dos elementos. Então, $e_{i}$ é a posição que marca o segundo quartil. Pela definição de mediana o cálculo de $e_{i}$ é $e_{i}={\frac {e_{n}+1}{2}}$ e divide ${\bar {\theta }}$ em dois grupos com 50% de dados em cada grupo, ou seja, ${\bar {\theta }}=(e_{1},e_{2},...,e_{i-1},{\color {maroon}e_{i}},e_{i+1},...,e_{i-1})$ e se obtém os dois grupos ${\hat {A}}$ e ${\hat {B}}$, onde ${\hat {A}}=(g_{i+1},...,g_{n})=(p_{1},...,p_{m})$ e ${\hat {B}}=(h_{i+1},...,h_{n})=(q_{1},...,q_{n})$.

1. Se ${\hat {A}}$ e ${\hat {B}}$ conter uma quantidade par de elementos será realizado o mesmo processo do item 1. do caso quartil quantidade par de elementos.
2. Se ${\hat {A}}$ e ${\hat {B}}$ conter uma quantidade ímpar de elementos será realizado o mesmo processo do item 2. do caso quartil quantidade par de elementos.

O conjunto de dados ${\bar {\theta }}$ tem as posições $e_{j}$ para o primeiro quartil, $e_{i}$ para o segundo quartil e $e_{l}$ para o terceiro quartil e, mais usualmente em notações para o primeiro, segundo e terceiro quartil, respectivamente $Q_{1},Q_{2}$ e $Q_{3}$.

Intervalo interquartil

A partir dos quartis $Q_{1},Q_{2}$ e $Q_{3}$ determinados. A amplitude interquartil (AIQ) é

$AIQ=Q_{3}-Q_{1}$

Observações

Na coleta de dados pode ocorrer erros de arrendamentos ou de observação e esses dados são considerados discrepantes dentro de uma mesma amostra e podem levar a erros nas análises sobre a distribuição dos dados. Portanto, estabelece-se o critério de limite inferior e superior nos quartis. E, os dados os quais estiverem além dos limites são considerados discrepantes e identifica-los obtém-se uma orientação mais precisa. Então,

$LI=Q_{1}-c\cdot AIQ$

$LS=Q_{3}+c\cdot AIQ$

Onde, $LI$ e $LS$ são respectivamente os limites inferior e superior. Enquanto $c$ é uma constante a qual pertence aos números reais $\mathbb {R} \,$e pode assumir qualquer valor. No entanto, usualmente na literatura utiliza-se o valor $c=1,5$, pois o valor de $1,5$ consegue para mais e para menos além dos limites superior e inferior captar mais de 99% dos dados embaixo de uma curva normal, mas não capta os 100% dos dados. Portanto, seguramente a definição pode ser utilizada para o cálculo dos limites superior e inferior como:

$LI=Q_{1}-1,5\cdot AIQ$

$LS=Q_{3}+1,5\cdot AIQ$

Discussão

Existem outros métodos para encontrar as posições dos quartis. No entanto, podem gerar dúvidas. Por exemplo, ao pensar que $Q_{1},Q_{2}$ e $Q_{3}$ possuem respectivamente 25%, 50% e 75% dos dados de um conjunto $\Omega$, o cálculo de percentuais podem ser aplicados diretamente, como:

$Q_{1}=n\cdot 25\%\equiv {\frac {n}{4}}$

$Q_{2}=n\cdot 50\%\equiv {\frac {n}{2}}$

$Q_{3}=n\cdot 75\%\equiv {\frac {3n}{4}}$

Onde $n$ é o número de elementos.

Ao verificar o conjunto ${\bar {\Omega }}=\{3,5,7,9,11,67\}$ para $Q_{1}={\frac {6}{4}}=1,5$, mas a posição $1,5$ não possui 25% dos dados. Logo, esse método não pode ser o melhor.

Outro método para definir quartil é $Q_{i}={\frac {i}{4}}(N+1)$, onde $N$ é o número de elementos de um conjunto ${\dot {\Omega }}=\{2,4,6,8,10,90\}$ e $i$ marca a posição do quartil. Então, para definir o terceiro quartil $Q_{3}$ é $Q_{3}={\frac {3}{4}}(6+1)=5,25$. No entanto, a posição $5,25$ não possui 75% dos dados do conjunto ${\dot {\Omega }}$.