Usuário:Lechatjaune/Métodos para calcular raiz quadrada

objetivo

O objetivo desse artigo é mostrar e explicar os principais e mais utilizados métodos para calcular raízes quadradas tanto para números Inteiros, como para Reais e Complexos

Importância

Em inúmeras aplicações e ocasiões é importante saber um valor numérico para uma raiz quadrada, ainda mais quando se trata de valores Reais e algumas vezes Complexos. Para se determinar essa raiz podemos usar vários métodos...

Método Babilônico

Este é um método interativo, ou seja, tendo um número próximo da raiz quadrada como valor, é realizado várias vezes uma mesma rotina achando um valor cada vez mais próximo do resultado esperado.O Método Babilônico nos dá uma boa aproximação da raiz quadrada de um número, entretanto, ele não é muito preciso, principalmente para muitas interações.

Algorítimo

Queremos encontrar a raiz quadrada de um número n. Temos como entrada um número próximo do resultado esperado a₀, e uma de precisão ε.

>>devemos fazer os seguintes passos:

primeiro calculamos o valor de b₀ dividindo n por a₀ n/a₀
Depois calculamos o novo valor de a fazendo a média do a e b anteriores.
- a_k = (a_k-1 + b_k-1)/2
Próximo passo é calcular o novo valor de b
- n/a_k
Se o erro de aproximação:
- E = |b_k - n|

for menor que a precisão, então b_k é o valor aproximado procurado.

Se não, deve se repetir os passos 2. 3. e 4.

Método de Herão

sqrt(a) possui uma boa aproximação por sucessivas estimativas

x<sub>(k+1) = 0,5 ( x<sub>(k) + (a/x<sub>(k))

Equação de Pell

A Equação de Pell só nos é útil para calcular a parte inteira de uma raiz quadrada. Por exemplo, se tomarmos o número 27 para extrair a raiz, esse método nos retornará o número 5, e não 5.19615242... Esse método pode ser útil para calcular raízes exatas ou para por exemplo termos uma aproximação que pode ser usada em outros métodos. Esse método é bem simples e é baseado apenas em subtrações. Para uma raiz quadrada de um número n, deve se começar subtraindo 1, depois pegamos o que sobrou e diminuímos 3, depois fazemos a mesma coisa com 5 e assim por diante. Ou seja, a cada passo, subtraímos do resto anterior um número 2 unidades maior que o anterior partindo de 1. Fazemos isto até não ser mais possível subtrair para obter um número não negativo. A parte inteira da raiz de n será o número de subtrações feitas.

Exemplo

para n = 18 temos os seguintes passos

18 - 1 = 17
17 - 3 = 14
14 - 5 = 9
9 - 7 = 2

No próximo passo deveríamos pegar o resto 2 e subtrair 9. Mas como 9 é maior que dois, paramos por aqui. Dessa forma realizamos 4 passos, então a parte inteira da raiz de 18 é 4.

Algorítmo

Um algorítmo que pode ser usado em computadores é o seguinte:

Onde n é o número que queremos encontrar a raiz, r é o número de passos, e i é o que se deve subtrair em cada passo.

  r = 0
  i = 1
  while (n >= i)
  {
     n = n – i;
     i = i + 2;
     r = r + 1;
  }
  return r;

Onde n é o número que queremos encontrar a raiz, r é o número de passos, e i é o que se deve subtrair em cada passo.

Aritmética Mental

Método das Frações Continuadas

Método de Newton

Um dos métodos mais utilizados para calcular a raiz quadrada de um Número Real principalmente por calculadoras é o Método de Newton. Geralmente se usa uma aproximação inicial igual a 1.

Fontes

http://pt.wikipedia.org/wiki/Raiz_quadrada acessado em 03/06/2013

http://pt.scribd.com/doc/26797074/Metodos-de-Calculo-Para-Raizes-Quadradas-Professor acessado em 03/06/2013

www.obaricentrodamente.blogspot.com.br/2008/11/aproximao-de-raz-quadrada-de-um-nmero-n.html acessado em 03/06/2013