Vórtice de Kerr–Dold

Em dinâmica de fluidos, vórtice de Kerr–Dold é uma solução exata das equações de Navier-Stokes, a qual representa vórtices periódicos constantes sobrepostos ao fluxo do ponto de estagnação (ou fluxo extensional). A solução foi descoberta por Oliver S. Kerr e John W. Dold in 1994.[1][2] Essas soluções estáveis existem como resultado de um equilíbrio entre o estiramento do vórtice pelo fluxo extensional e a dissipação viscosa, que são semelhantes ao vórtice de Burgers. Esses vórtices foram observados experimentalmente em um moinho de quatro rolos por Lagnado e L. Gary Leal.[3]

Descrição matemática

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O fluxo do ponto de estagnação, que já é uma solução exata da equação de Navier-Stokes, é dado por  , onde   é a taxa de deformação. A este fluxo, uma perturbação periódica adicional pode ser adicionada de modo que o novo campo de velocidade possa ser escrito como

 

onde a perturbação   e   são consideradas periódicas na direção   com um número de onda fundamental  . Kerr e Dold mostraram que tais perturbações existem com amplitude finita, tornando a solução exata para as equações de Navier-Stokes. Introduzindo uma função de fluxo   para os componentes da velocidade de perturbação, as equações para perturbações na formulação da função de fluxo de vorticidade podem ser reduzidas a

 

onde   é a vorticidade da perturbação. Um único parâmetro

 

pode ser obtido após adimensionalização, que mede a força do fluxo convergente para a dissipação viscosa. A solução será assumida como

 

Desde que   é real, é fácil verificar que   Dado que a estrutura de vórtice esperada tem simetria  , temos  . Após a substituição, será obtida uma sequência infinita de equações diferenciais que são acopladas de forma não linear. Para derivar as seguintes equações, regra do produto de Cauchy será usada. As equações são[4][5]

 

As condições de contorno

 

e a condição de simetria correspondente é suficiente para resolver o problema. Pode-se mostrar que soluções não triviais só existem quando   Ao resolver esta equação numericamente, verifica-se que manter os primeiros 7 a 8 termos é suficiente para produzir resultados precisos.[6] A solução quando   é   foi também descoberta por Craik e Criminale em 1986.[7]

Referências

  1. Kerr, Oliver S., and J. W. Dold. "Periodic steady vortices in a stagnation-point flow." Journal of Fluid Mechanics 276 (1994): 307–325.
  2. Drazin, P. G., & Riley, N. (2006). The Navier–Stokes equations: a classification of flows and exact solutions (No. 334). Cambridge University Press.
  3. Lagnado, R. R., & Leal, L. I. (1990). Visualization of three-dimensional flow in a four-roll mill. Experiments in fluids, 9(1-2), 25–32.
  4. Dold, J. W. (1997). Triple flames as agents for restructuring of diffusion flames. Advances in combustion science: In honor of Ya. B. Zel'dovich(A 97-24531 05-25), Reston, VA, American Institute of Aeronautics and Astronautics, Inc.(Progress in Astronautics and Aeronautics., 173, 61–72.
  5. Kerr, O. S., & Dold, J. W. (1996). Flame propagation around stretched periodic vortices investigated using ray-tracing. Combustion science and technology, 118(1-3), 101–125.
  6. Dold, J. W., Kerr, O. S., & Nikolova, I. P. (1995). Flame propagation through periodic vortices. Combustion and flame, 100(3), 359–366.
  7. Craik, A. D. D., & Criminale, W. O. (1986). Evolution of wavelike disturbances in shear flows: a class of exact solutions of the Navier–Stokes equations. Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences, 406(1830), 13–26.