Variograma cruzado

Variograma cruzado é um tipo de variograma que pretende estudar o variograma conjunto de duas variáveis. É necessário para fazer operações de co-krigagem (note-se que não é o mesmo que krigagem co-localizada). À semelhança do variograma experimental é feito em recurso a vários critérios dentre eles a distância e orientação.

Definição

O variograma é calculado em recurso à seguinte fórmula:

$2\gamma (x,x+h)={\frac {1}{N(h)}}\sum _{N(h)}[Z_{A}(x)-Z_{A}(x+h)]^{2}\quad$

Mas esta só considera uma variável dado que $Z_{A}$ é uma única população. Assim para calcularmos o variograma cruzado, $2\gamma _{AB}(x,x+h)$, com uma segunda população, $Z_{B}$, precisamos de aplicar a seguinte fórmula:

$2\gamma _{AB}(x,x+h)={\frac {1}{N(h)}}\sum _{N(h)}[Z_{A}(x)-Z_{A}(x+h)][Z_{B}(x)-Z_{B}(x+h)]\quad$

Garantindo que $Z_{A}(x)$ e $Z_{B}(x)$ se encontram na mesma localização pois trata-se de uma operação de correlação espacial. Note-se que segundo Isaaks e Srivastava (1989) a relação de Cauchy-Schwartz:

$|\gamma _{AB}|={\sqrt {\gamma _{A}\gamma _{B}}}\quad$

deve ser garantida todas as distâncias $h$ consideradas num processo de co-krigagem.

Covariância cruzada

A relação entre variograma e covariância cruzada é dada por (Soares, 2006):

$\gamma _{AB}(h)=C_{ij}(0)-0.5[C_{ij}(h)+C_{ij}(-h)]\quad$

sendo que ao contrário do variograma em que $\gamma _{AB}(h)=\gamma _{BA}$, $C_{AB}$ pode não ser igual a $C_{BA}$ implicando que esta não é um função simétrica em relação ao $h$. De um ponto de vista de descrição da estrutura espacial, as duas funções não são equivalentes: a não-simetria da covariância cruzada torna-a apta a retratar comportamentos espaciais que escapam ao variograma.

Na prática, na modelação da covariância cruzada, esta assimetria é desconsiderada por duas razões :

• Raramente a quantidade de dados disponíveis permitem perceber que fenómeno físico origina a assimetria.
• A modelação de casos em que a covariância cruzada é assimétrica é extremamente complexa.

Assim os instrumentos geoestatísticos usados para quantificar a continuidade espacial de um sistema com mais de uma variável são, normalmente, os variogramas cruzados e as covariâncias cruzadas simétricas.

Correlograma cruzado

O correlograma cruzado é dependente das covariâncias cruzadas e é dado pela fórmula:

$\rho _{AB}(h)={\frac {C_{ij}(h)}{\sqrt {C_{i}i(0)C_{j}j(0)}}}\quad$

Discussão

À semelhança do seu homólogo variograma experimental também é possível fazer covariâncias cruzadas e correlogramas cruzados.

Ver também

• Variograma
• Variograma de indicatriz
• Função de covariância
• Função correlograma