Cobertura (matemática)

Em matemática, particularmente em topologia, uma cobertura de um conjunto $X$ é uma coleção de conjuntos cuja união inclui $X$ como um subconjunto. Formalmente, se $C=\lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace$ é uma família indexada de conjuntos $U_{\alpha },$ então $C$ é uma cobertura de $X$ se

$X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }$

Cobertura na topologia

Coberturas são comumente usadas no contexto da topologia. Se o conjunto $X$ é um espaço topológico, então uma cobertura $C$ de $X$ é uma coleção de subconjuntos $\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ de $X$ cuja união é todo o espaço $X$. Nesse caso, dizemos que $C$ cobre $X$, ou que os conjuntos $U_{\alpha }$ cobrem $X$.

Além disso, se $Y$ é um subespaço topológico de $X$, então uma cobertura de $Y$ é uma coleção de subconjuntos $C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ de $X$ cuja união contém $Y$, ou seja, $C$ é uma cobertura de $Y$ se

$Y\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }$

A diferença entre a definição de uma cobertura de um espaço topológico e uma cobertura de um subespaço topológico precisa ser levada em conta. As aplicações em análise usam, efetivamente, a definição de subespaço.

Seja $C$ uma cobertura de um espaço topológico $X$. Uma subcobertura de $X$ é um subconjunto de $C$ que ainda cobre $X$.

Dizemos que $C$ é uma cobertura aberta se cada um de seus membros for um conjunto aberto (isto é, cada $U_{\alpha }$ está contido em $T$, onde $T$é a topologia em $X$).

Uma cobertura de $X$ é considerada localmente finita se cada ponto de $X$ tem uma vizinhança que cruza apenas finitos conjuntos na cobertura. Formalmente, $C=\{U_{\alpha }\}$ é localmente finito se, para qualquer $x\in X,$ existe alguma vizinhança $N(x)$ de $x$ tal que o conjunto

$\left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap N(x)\neq \varnothing \right\}$

seja finito. Uma cobertura de $X$ é considerada ponto-finita se cada ponto de $X$ estiver contido apenas em um número finito de conjuntos na cobertura. Uma cobertura é ponto-finita se for localmente finita, embora o inverso não seja necessariamente verdadeiro.

Refinamento

Um refinamento de uma cobertura $C$ de um espaço topológico $X$ é uma nova cobertura $D$ de $X$ de modo que cada conjunto em $D$ esteja contido em algum conjunto em $C$ . Formalmente:

$D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}$ é um refinamento de $C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ se, para todo $\beta \in B$, existe $\alpha \in A$ de tal modo que $V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }$.

Em outras palavras, deve existir um mapa de refinamento $\phi :B\to A$ que satisfaça $V_{\beta }\subseteq U_{\phi (\beta )}$ para cada $\beta \in B.$ Esse mapa é usado, por exemplo, na cohomologia de Čech de $X$.

Cada subcobertura também é um refinamento, mas o oposto nem sempre é verdadeiro. Uma subcortura é feita a partir de conjuntos que estão na cobertura, mas omitindo alguns deles; ao passo que um refinamento é feito a partir de quaisquer conjuntos que sejam subconjuntos dos conjuntos da cobertura.

A relação de refinamento é uma pré-ordem sobre o conjunto de coberturas de $X$.

De modo geral, um refinamento de uma determinada estrutura representa, de certa forma, uma outra estrutura que a contém. Exemplos podem ser encontrados ao se particionar um intervalo (com um refinamento de $a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}$, sendo $a_{0}<b_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<b_{1}<a_{n}$) e ao se analisarem topologias (com a topologia usual no espaço euclidiano sendo um refinamento da topologia trivial). Na subdivisão de complexos simpliciais (a primeira subdivisão baricêntrica de um complexo simplicial é um refinamento), a situação é ligeiramente diferente: cada simplexo no complexo mais fino é uma face de algum simplexo no complexo mais grosso, e ambos têm poliedros subjacentes iguais.

Subcobertura

Uma maneira simples de se obter uma subcobertura é omitindo-se os conjuntos contidos em outro conjunto na cobertura. Considere especificamente as coberturas abertas. Seja ${\mathcal {B}}$ uma base topológica de $X$ e ${\mathcal {O}}$ uma cobertura aberta de $X$. Primeiro tome ${\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {B}}:\exists \,U\in {\mathcal {O}}:A\subseteq U\}$, então ${\mathcal {A}}$ é um refinamento de ${\mathcal {O}}$. Em seguida, para cada $A\in {\mathcal {A}}$, seleciona-se um $U_{A}\in {\mathcal {O}}$ contendo $A$ (exigindo o axioma de escolha). Então ${\mathcal {C}}=\{U_{A}\in {\mathcal {O}}:A\in {\mathcal {A}}\}$ é uma subcobertura de ${\mathcal {O}}$. Conseqeentemente, a cardinalidade de uma subcobertura de uma cobertura aberta pode ser tão pequena quanto a de qualquer base topológica. Portanto, em particular, o segundo axioma de enumerabilidade implica em um espaço de Lindelöf.

Compacidade

A noção de coberturas é frequentemente usada para definir várias propriedades topológicas relacionadas à compactação. Um espaço topológico $X$ é dito ser

• compacto

se toda cobertura aberta tem uma subcobertura finita (ou, equivalentemente, se toda cobertura aberta tem um refinamento finito);

• de Lindelöf

se toda cobertura aberta tem uma subcobertura contável (ou, equivalentemente, se toda cobertura aberta tem um refinamento contável);

• metacompacto

se toda cobertura aberta tem um refinamento aberto ponto-finito;

• paracompacto

se toda cobertura aberta admite um refinamento aberto localmente finito.

Dimensão de cobertura

Diz-se que um espaço topológico $X$ possui dimensão de cobertura $n$ se cada cobertura aberta de $X$ tiver um refinamento aberto ponto-finito, de modo que nenhum ponto de $X$ seja incluído em mais que $n+1$ conjuntos no refinamento e se $n$ for o valor mínimo para o qual isso é verdade. Se tal $n$ mínimo não existir, o espaço é considerado de dimensão de cobertura infinita.

Ver também

• Atlas (topologia)
• Recobrimento
• Partição de um conjunto
• Problema de cobertura de conjuntos

Bibliografia

1. Introduction to Topology, Segunda Edição, Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene. Dover Publications 1999. ISBN 0-486-40680-6
2. General Topology, John L. Kelley . D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, NJ. 1955.

Ligações externas

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Covering (of a set)», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer