Equação de Born-Mayer

A equação de Born-Mayer permite calcular de forma teórica a energia reticular ($U_{r}$) de um cristal iônico. Foi deduzida pelo físico alemão Max Born e pelo químico norte-americano Joseph Edward Mayer em 1932, como um aprimoramento da equação de Born-Landé deduzida pelo mesmo Max Born e por Alfred Landé em 1918. A equação da energia reticular é a seguinte:

Representação da energia potencial da ligação iônica do cloreto de sódio. Em azul, o termo de atração eletrostática; em vermelho, o termo de repulsão eletrônica da equação de Born-Landé e, em roxo, o da equação de Born-Mayer; em amarelo, a energia potencial resultante da equação de Born-Landé e, em verde, a de Born-Mayer, com o mínimo correspondente à energia reticular associada ao comprimento de ligação $r_{0}$.

$U_{r}=-K_{0}{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{r_{0}}}\left(1-{\frac {\rho }{r_{0}}}\right)$

denotando-se por:

• $N_{A}$ o número de Avogadro;
• $M$ a constante de Madelung, relativa à geometria da rede cristalina;
• $z^{+}$ a carga dos cátions numa fórmula mínima em unidades de carga elementar;
• $z^{-}$ a carga dos ânions numa fórmula mínima em unidades de carga elementar;
• $e$ a carga elementar;
• $K_{0}$ a constante eletrostática do vácuo;
• $r_{0}$ a distância entre os núcleos atômicos dos íons mais próximos (m);
• $\rho$ um coeficiente que quantifica a repulsão entre nuvens eletrônicas.

Dedução

Termo de atração e repulsão eletrostática (energia de Madelung)

Ver artigo principal: Equação de Born-Landé

$U_{atr}=-K_{0}{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{r_{0}}}$

Nesse termo, incluem-se todas as atrações e repulsões eletrostáticas entre íons: atrações entre cargas de diferente sinais e repulsões entre cargas de mesmo sinal; contabilizam-se as interações entre todos os íons, não apenas entre os mais próximos. É o mesmo termo utilizado na equação de Born-Landé e foi obtido em 1918 pelo físico alemão Erwin Madelung.

Termo de repulsão eletrostática

Born e Mayer deduziram essa equação a partir de considerações da mecânica quântica. O termo equivalente ao da equação de Born-Landé havia sido obtido com base no modelo atômico de Bohr, que supunha que as densidade eletrônica ao redor do núcleo atômico eram homogênia. Com o desenvolvimento da mecânica quântica Schrödinger criou um novo modelo atômico, considerando o elétron como uma onda. Esse modelo indica que as densidade eletrônica decai exponencialmente à medida que a distância ao núcleo atômico aumenta. Devido a isso, a contribuição da repulsão à energia reticular também deve decair exponencialmente com a distância, o que não era contemplado na primeira equação de Born. A fórmula dessa nova energia potencial de repulsão para qualquer raio $r$ foi escrita em função do coeficiente ρ como uma função exponencial do número de euler:

$U_{rep}=\mathbf {e} }^{\frac {-r}{\rho }$

Energia reticular

Energias reticulares de halogênios: valores experimentais obtidos com o ciclo de Born-Haber e valores teóricos obtidos com a equação de Born-Mayer (kcal/mol)
Halogênio	Valor experimental do ciclo de Born-Haber	Valor teórico da equação de Born-Mayer
Fluoreto de lítio, LiF	241,2	240,1
Cloreto de lítio, LiCl	198,2	199,2
Brometo de lítio, LiBr	188,5	188,3
Iodeto de lítio, LiI	175,4	174,1
Fluoreto de sódio, NaF	216,0	213,4
Cloreto de sódio, NaCl	184,7	183,1
Brometo de sódio, NaBr	175,9	174,6
Iodeto de sódio, NaI	164,5	163,9
Fluoreto de potássio, KF	191,5	189,7
Cloreto de potássio, KCl	166,8	165,4

A energia total do cristal é a soma dos dois termos, o de atração e o de repulsão, em função da distância dos íons e para 1 mol do composto:

$U_{r}=U_{e}+U_{rep}=-K_{0}{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{r}}+bN_{A}\mathbf {e} }^{\frac {-r}{\rho }$

em que $b$ é uma constante.

A energia reticular ($U_{r}$) corresponde ao valor mínimo dessa energia. Pode-se obter esse valor igualando a zero a derivada da expressão em função de r:

$\left({\frac {dU_{r}}{dr}}\right)_{r=r_{0}}={K_{0}{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{r_{0}^{2}}}-{\frac {N_{A}b}{\rho }}\mathbf {e} }^{\frac {-r}{\rho }}=0$

de onde se obtém o valor da constante $b$ do termo de repulsão:

$b=K_{0}{\frac {\rho Mz^{+}z^{-}e^{2}}{r_{0}^{2}{\mathbf {e} }^{\frac {-r_{0}}{\rho }}}}$

Substituindo esse valor na equação da energia total, obtém-se finalmente a fórmula de Born-Mayer:

$U_{r}=-K_{0}{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{r_{0}}}\left(1-{\frac {\rho }{r_{0}}}\right)$

Ver também

• Equação de Born-Landé
• Equação de Kapustinskii
• Ciclo de Born-Haber
• Constante de Madelung