Ação de Polyakov

Em física, a ação de Polyakov é a ação bidimensional de uma teoria conforme de campos (CFT en inglés)[1] descrevendo a variedade[nota 1] bidimensional[2] que descreve a incorporação de uma corda no espaço-tempo na teoria das cordas. [3] [4] [5]

Uma parte da superfície de um universo de corda aberta

Esta ação foi introduzida por Stanley Deser e Bruno Zumino [6] e, independentemente, por L.Brink, Vecchia P.Di e PSHowe, [7] e passou a ser associada com Alexander Polyakov depois que ele fez uso dela na quantificação da corda.[8]

A ação lê

onde é a tensão da corda, é a métrica da variedade alvo[nota 2], é a folha de universo métrica e é o determinante de . A assinatura métrica é escolhido de tal modo que direções similares ao tempo são + e direções como espaço são -. A coordenada de folha de universo tipo espacial é chamada ao passo que a coordenada de folha de universo tipo tempo é chamada . Esta variedade é também conhecida como modelo σ não-linear.[9]

A ação de Polyakov deve ser completada pela ação de Liouville na teoria de campo de Liouville para descrever adequadamente as flutuações de cordas.

Relação com a ação Nambu-Goto

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Escrevendo a equação de Euler-Lagrange para o tensor métrico   se obtém que:

 

Sabendo também que:

 

Pode-se escrever o derivativo variacional da ação:

 

onde   o que leva a:

 
 
 

Se o tensor métrico auxiliar da folha de universo   é calculado a partir das equações de movimento:

 

e substituído de volta à ação, ele se torna a ação Nambu-Goto:

 

No entanto, a ação de Polyakov é mais facilmente quantificada porque é linear.

Notas

  1. Variedade é uma generalização da ideia de superfície. Existem vários tipos de variedades, de acordo com as propriedades que possuem. As mais usuais são as variedades topológicas e as variedades diferenciáveis.
  2. Um modelo σ não-linear descreve um campo escalar Σ que leva valores de uma variedade não-linear chamada de variedade alvo

Referências

  1. A. A. Belavin, Alexander M. Polyakov, and A. B. Zamolodchikov. Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory. Nucl. Phys., B241:333–380, 1984
  2. Especificamente, ocorre em duas dimensões espaciais e uma dimensão temporal.
  3. Alexander M. Polyakov. Quantum geometry of bosonic strings. Phys. Lett., B103, 1981.
  4. A. M. Polyakov. String theory and quark confinement. Nucl. Phys. Proc. Suppl.,68:1–8, 1998
  5. A. M. Polyakov and V. Rychkov. Gauge fields - strings duality and the loop equation. Nucl. Phys., B581:116–134, 200
  6. S. Deser and B. Zumino: A complete action for the spinning string. Physics Letters B65 (1976) 369
  7. L. Brink, P. Di Vecchia and P.S. Howe: A locally supersymmetric and reparametrization invariant action for the spinning string. Physics Letters B65 (1976) 471.
  8. Harmonicity in supermanifolds and sigma models por J. Muñoz-Masqué e J. A. Vallejo
  9. Friedan, D. (1980). «Nonlinear Models in 2+ε Dimensions» (PDF). Physical Review Letters. 45. 1057 páginas. Bibcode:1980PhRvL..45.1057F. doi:10.1103/PhysRevLett.45.1057 
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