Análise de estabilidade de Von Neumann
Na análise numérica, a Análise de estabilidade de Von Neumann (também conhecida como análise de estabilidade de Fourier) é um procedimento usado para verificar a estabilidade de métodos de diferenças finitas quando aplicados em equações diferenciais parciais.[1] A análise é baseada na decomposição de Fourier do Erro numérico e foi desenvolvida no Laboratório Nacional de Los Alamos depois de ter sido brevemente descrita em um artigo de 1947 pelos pesquisadores britânicos John Crank e Phyllis Nicolson.[2] Depois, foi dado um tratamento mais rigoroso ao método em um artigo[3] co-escrito por John von Neumann.
Estabilidade numérica
editarA estabilidade de métodos numéricos está intimamente associada ao erro numérico. Um método de diferenças finitas é estável se os erros produzidos em um passo de tempo do cálculo não provocam um aumento dos erros à medida que os cálculos avançam. Há 3 classes de métodos numéricos. Um método numérico condicionalmente estável depende de certos parâmetros para que os erros permaneçam limitados e não instabilizem. Se os erros diminuírem ou chegarem a desaparecer, o método numérico é dito como sendo estável. Se, de outra forma, os erros aumentarem com o tempo, a solução numérica irá divergir em relação à realidade (solução exata) e então o método numérico é dito como sendo instável. A estabilidade de métodos numéricos pode ser averiguada pela análise de estabilidade de von Neumann. Para problemas dependentes do tempo, a estabilidade garante que o método numérico produza uma solução limitada sempre que a solução da equação diferencial for limitada. Estabilidade em geral, pode ser dificilmente averiguada, especialmente se a equação em questão for não-linear.
A estabilidade de von Neumann é necessária e sucifiente (tal como utilizado no Teorema de Equivalência de Lax) apenas em certos casos: a EDP e o método de diferenças finitas devem ser lineares; a EDP precisa ter condições iniciais e de fronteira e ser no máximo de segunda ordem.[4] Devido à sua relativa simplicidade, a análise de von Neumann é geralmente usada no lugar de uma análise de estabilidade mais detalhada por ser um bom palpite em relação às restrições dos passos usados no método.
Ilustração do método
editarO método de von Neumann é baseado na decomposição dos erros em séries de Fourier. Para ilustrar o procedimento, considere Equação do calor unidimensional
definida no intervalo , e discretizando pelo método FTCS
onde
e a solução da equação discretizada se aproxima da solução analítica da EDP na malha.
Definimos o Erro de arredondamento (também chamado de erro de truncamento) como
onde é a solução da equação discretizada (1) que seria calculada sem os erros de truncamento, e é a solução numérica obtida com precisão finita. Já que a solução exata deve satisfazer a equação discretizada, o erro também deve satisfazer a equação discretizada.[5] Portanto
é uma relação de recorrência para o erro. Equações (1) e (2) mostram que ambos os erros e a solução numérica tem o mesmo crescimento ou decaimento em relação ao tempo. Para equações diferenciais lineares com condições de contorno, a variação espacial do erro pode ser expandida em séries de Fourier, no intervalo , como
onde o Número de onda com , e sendo uma incógnita. A dependência no tempo do erro é incluída assumindo-se que a amplitude do erro está em função do tempo. Já que o erro tende a crescer ou decair exponencialmente com o tempo, é sensato assumir que a amplitude varia exponencialmente com o tempo; daí
onde é uma constante.
Já que a equação diferencial do erro é linear (o comportamento de cada tempo da série é o mesmo que o dá série), podemos então considerar que o crescimento do erro de um dado termo é:
As característica da estabilidade podem ser estudadas usando apenas esta forma para o erro, sem grandes perdas em geral. Para descobrir como o erro varia nos espaços de tempo, substituimos (5) na equação (2), notando que
dando (depois de simplificar)
Usando as identidades
equação (6) pode ser reescrita como
Definimos então o fator de amplitude
A condição necessária e suficiente para o erro se manter limitado é que, Contudo,
Daí, das equações (7) e (8), a condição para a estabilidade é dada por
Para a condição acima manter todos os , temos
Equação (10) dá o requisito de estabilidade para o método FTCS quando aplicado a equação unidimensional do calor. Ela diz que para um determinado ,o valor permitido de deve ser pequeno o bastante para satisfazer a equação (10).
Ver também
editarReferências
editar- ↑ Analysis of Numerical Methods by E. Isaacson, H. B. Keller
- ↑ Crank, J.; Nicolson, P. (1947), «A Practical Method for Numerical Evaluation of Solutions of Partial Differential Equations of Heat Conduction Type», Proc. Camb. Phil. Soc., 43: 50–67, doi:10.1007/BF02127704
- ↑ Charney, J. G.; Fjørtoft, R.; von Neumann, J. (1950), «Numerical Integration of the Barotropic Vorticity Equation» (PDF), Tellus, 2: 237–254, consultado em 18 de fevereiro de 2012, cópia arquivada (PDF) em 19 de fevereiro de 2012
- ↑ Smith, G. D. (1985), Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods, 3rd ed., pp. 67–68
- ↑ Anderson, J. D., Jr. (1994). Computational Fluid Dynamics: The Basics with Applications. [S.l.]: McGraw Hill