Análise não padronizada

Análise não padronizada é um ramo da matemática desenvolvido desde 1960 para abordar o conceito de infinitesimal de maneira rigorosa. Para isso, um novo conceito é introduzido, o objeto padrão (ou padronizado) e objeto não padrão (ou não padronizado), ou mais precisamente modelo padrão ou teoria dos modelos. Pode-se, então, apresentar os principais resultados de análise matemática de uma forma mais intuitiva que a análise usual.[1][2][3]

Gottfried Wilhelm Leibniz, por Bernhard Francke.

Definições Básicas

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Nesta seção, construiremos o corpo hiper-real  . Seja   o corpo dos números reais (padrão) e seja   o semianel dos números naturais. O conjunto   de todas as sequências de números reais com operações ponto-a-ponto não forma um corpo, mas obteremos o corpo dos hiperreais   a partir deste conjunto da seguinte forma. Tome um ultrafiltro livre   em   isto é,   é tal que

  1.  ;
  2.  
  3.  
  4.   subconjutno finito de    

Estabelece-se que duas sequências de números reais   and   são equivalentes,  , se existe um membro   do ultrafiltro em que as sequências coincidam:  . Isto equivale a dizer que o conjunto de indices em que elas são iguais está no ultrafiltro,  . A relação   é de fato de equivalência; a transitividade se deve ao axioma 2 de ultrafiltro e à inclusão  . Assim, definem-se os números reais não-padrão ou números hiperreais como  , isto é, quocientando o conjunto das sequências pela relação de coincidirem em um membro do ultrafitro. Chama-se a esta construção feita de construção por ultrapotências (  é o ultraproduto de uma cópia de   para cada número natural com respeito a um ultrafiltro dos naturais que contém todos os conjuntos cofinitos). Definem-se as operações em   por meio das operações ponto-a-ponto nos representantes. Denotando a classe de uma sequência   em   como  , põe-se:

  •  
  •  

Observe que os números reais padrão   estão mergulhados em   como as imagens das sequências constantes.

Definem-se também o módulo de um número hiperreal como  . Estende-se para   a relação de ordem de   pondo  . Verifica-se que todas essas definições se comportam como esperado para os números padrão vistos dentro do conjunto dos hiperreais.

Tome um número não-padrão  . Diz-se que  

  • é um infinitésimo ou um número infinitesimal se   para todo natural padrão  ;
  • é um número finito ou limitado se   para todo natural padrão  ;
  • é um número infinito ou ilimitado se   para todo natural padrão  .


Referências

  1. Nonstandard Analysis in Practice. Edited by Francine Diener, Marc Diener. Springer, 1995.
  2. Nonstandard Analysis, Axiomatically. By V. Vladimir Grigorevich Kanovei, Michael Reeken. Springer, 2004.
  3. Nonstandard Analysis for the Working Mathematician. Edited by Peter A. Loeb, Manfred P. H. Wolff. Springer, 2000.

Ver também

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