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Classe de equivalência

(Redirecionado de Classes de equivalência)

Em matemática, dado um conjunto com uma relação de equivalência , a classe de equivalência de um elemento é o subconjunto de todos os elementos de que são equivalentes a .

ExemploEditar

  • Seja ~ a relação de equivalência definida no conjunto dos números inteiros   por x ~ y quando x - y for um número par. Então   é uma classe de equivalência, o conjunto dos número ímpares. Analogamente,   é outra classe de equivalência.

PropriedadesEditar

  • Se  ;
  • Classes de equivalência diferentes não têm elementos em comum: Se   então  ;
  • Estas duas propriedades acima podem ser resumidas na seguinte:  ;
  • A união de todas as classes de equivalência de um conjunto é igual ao próprio conjunto: X =   [x].

Podemos reunir todas as classes de equivalência de X em um conjunto chamado conjunto quociente de X:

 

Note que, como para cada elemento   podemos associar um elemento de  , existe uma função natural de  . Esta função é chamada de projeção canônica.

RepresentantesEditar

Uma questão importante com uma resposta não trivial é em que condições podemos escolher, para cada classe de equivalência, um único elemento, formando, assim, um conjunto de representantes?

Para ilustrar, vamos construir o conjunto de Vitali: ele parte da relação de equivalência em   definida por  , e tenta obter um elemento de cada classe de equivalência. O problema é que não existe nenhuma regra explícita que permite fazer essa escolha.

Na teoria dos conjuntos, esse problema é resolvido pelo axioma da escolha, cuja forma equivalente, para classes de equivalência, é:

Seja   uma relação de equivalência em um conjunto X. Então existe um conjunto   que contém um (e apenas um) elemento de cada classe de equivalência.
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